Теория множеств. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Рубрика: 

- 16 - Теория множеств
Рис.28 Рис.29
6. Для рис.6 В АВ ΔI ,
для рис.7
СВАВА \)(()( IUI ,
для рис.10 ).()()\)((
BCECADВ IUIUI
7.2. Пусть
BAx U∈ , значит, ВАх U
∉
, т.е. Ах
∉
и Вх ∉ . Следовательно,
Ах ∈ и Вх ∈ , т.е. ВАх I⊆ . Таким образом, ВАВА IU ⊆ .
Пусть
BAy I∈ , значит, Ay ∈ и Вy
∈
, т.е. Ay
∉
и By ∉ , Следовательно,
BAy U∉ , т.е. BAy U∈ . Таким образом, BABA UI ⊆ . Итак, BABA IU = .
7.6.1. Пусть
)( CBAx IU∈ , тогда Ax
∈
или CBx I
∈
. Если Ax
∈
, то
BAx U∈ и CAx U∈ , т.е. тогда )()( CABAx UIU
∈
.
Если
CBx I∈ , то Bx ∈ и Cx
∈
, т.е. тогда )( BAx U
∈
и )( CAx U∈ , значит
)()( CABAx UIU∈ .
Таким образом,
)()()( CABACBA UIUIU ⊆ .
Пусть
)()( CABAx UIU∈
, тогда BAx U
∈
и CAx U
∈
, т.е.:
а)
Ax ∈ или Bx ∈ и б) Ax
∈
или Cx
∈
.
Если
Ax ∈
, значит )( CBAx IU∈ .
Если
Bx ∈
и
Cx ∈
, то CBx I
∈
, значит, )( CBAx IU
∈
.
Таким образом, )()()(
CBACABA IUUIU ⊆ . И окончательно
)()()(
CABACBA UIUIU = .
7.7. Поскольку пустое множество является подмножеством всякого множества,
то
)\( ABAØ I⊆ .
Пусть найдется такой элемент
х, что )\( ABAx I
∈
, т.е. )( ABAx UI∈ . Таким
образом,
Ax ∈ и ABx I∈ , откуда Bx
∈
и Ax ∈ . Таким образом, имеем противоречие
Ax ∈ и Ax ∈ , а поскольку элемент х был выбран произвольно, следовательно, не су-
ществует вообще элемента, принадлежащего множеству )\(
ABA I , т.е. )\( ABA I = Ø.
10.2
. А ∆ ВВХ ⊆⊆ . 10.3. В АХА Δ⊆⊆ . 10.4. АХВ ⊆⊆ ∆ В.
10.5 А ∆ В ВХ ⊆⊆ . 10.6. АХВ ⊆⊆ ∆ В. 10.8.
В
А Δ ВХ ⊆⊆ .
10.9. Р е ш е н и е :
Х ∆ А = В; (Х ∆ А) ∆ В = Ø ; ((X \ A) U (A \ X)) ∆ B = Ø ;
[(( BAXAX \))() IUI ] U [ ))()((\ AXAXB IUI ]
=
Ø ;
[
BAXAX IIUI )( ]U [ )( AXAXB IUII ] = Ø ;
=)()()()( AXAXBBAXBAX UIUIUIIUII Ø ;
=)()()()( BAXBAXBAXBAX IIUIIUIIUII
Ø ;
=ΔΔ ))(()( B AXB AX IUI Ø ;
B AXB A
Δ
⊆⊆Δ , т.е.
B
A
X
Δ
=
.
10.10.
BAXBA II ⊆⊆ .
10.14. Р е ш е н и е : 
                                                - 16 -                              Теория множеств




                  Рис.28                                                   Рис.29

      6. Для рис.6 В I А Δ В ,
         для рис.7 ( А I В) U (( А I В) \ С ,
         для рис.10 (( В I D) \ A) U (C I E ) U (C I B ).
      7.2. Пусть x ∈ A U B , значит, х ∉ А U В , т.е. х ∉ А и              х ∉ В . Следовательно,
х ∈ А и х ∈ В , т.е. х ⊆ А I В . Таким образом, А U В ⊆ А I В .
      Пусть y ∈ A I B , значит, y ∈ A и y ∈ В , т.е. y ∉ A и y ∉ B , Следовательно,
 y ∉ A U B , т.е. y ∈ A U B . Таким образом, A I B ⊆ A U B . Итак, A U B = A I B .
        7.6.1. Пусть x ∈ A U ( B I C ) , тогда x ∈ A или x ∈ B I C . Если x ∈ A , то
x ∈ A U B и x ∈ A U C , т.е. тогда x ∈ ( A U B ) I ( A U C ) .
Если x ∈ B I C , то x ∈ B и x ∈ C , т.е. тогда x ∈ ( A U B) и x ∈ ( A U C ) , значит
x ∈ ( A U B) I ( A U C ) .
        Таким образом, A U ( B I C ) ⊆ ( A U B) I ( A U C ) .
        Пусть x ∈ ( A U B) I ( A U C ) , тогда x ∈ A U B и x ∈ A U C , т.е.:
        а) x ∈ A или x ∈ B и б) x ∈ A или x ∈ C .
        Если x ∈ A , значит x ∈ A U ( B I C ) .
        Если x ∈ B и x ∈ C , то x ∈ B I C , значит, x ∈ A U ( B I C ) .
        Таким          образом,         ( A U B) I ( A U C ) ⊆ A U ( B I C ) . И окончательно
 A U ( B I C ) = ( A U B) I ( A U C ) .
        7.7. Поскольку пустое множество является подмножеством всякого множества,
то Ø ⊆ A I ( B \ A) .
      Пусть найдется такой элемент х, что x ∈ A I ( B \ A) , т.е. x ∈ A I ( B U A) . Таким
образом, x ∈ A и x ∈ B I A , откуда x ∈ B и x ∈ A . Таким образом, имеем противоречие
x ∈ A и x ∈ A , а поскольку элемент х был выбран произвольно, следовательно, не су-
ществует вообще элемента, принадлежащего множеству A I ( B \ A) , т.е. A I ( B \ A) = Ø.
      10.2. А ∆ В ⊆ Х ⊆ В .       10.3. А ⊆ Х ⊆ А Δ В .        10.4. В ⊆ Х ⊆ А ∆ В.
      10.5 А ∆ В ⊆ Х ⊆ В .        10.6. В ⊆ Х ⊆ А ∆ В.         10.8. А Δ В ⊆ Х ⊆ В .
      10.9. Р е ш е н и е :
      Х ∆ А = В; (Х ∆ А) ∆ В = Ø ; ((X \ A) U (A \ X)) ∆ B = Ø ;
      [(( X I A) U ( X I A)) \ B ] U [ B \ (( X I A) U ( X I A)) ] = Ø ;
      [ ( X I A U X I A) I B ] U [ B I ( X I A U X I A) ] = Ø ;
       ( X I A I B) U ( X I A I B) U B I ( X U A) I ( X U A) = Ø ;
       ( X I A I B) U ( X I A I B) U ( X I A I B) U ( X I A I B) = Ø ;
      ( X I A Δ B) U ( X I ( A Δ B)) = Ø ;
                              A Δ B ⊆ X ⊆ A Δ B , т.е. X = A Δ B .
      10.10. A I B ⊆ X ⊆ A I B .
      10.14. Р е ш е н и е :

Страницы