Теория множеств. - 15 стр.

                                               - 14 -                                Теория множеств


                                     аIа=а,         аUа=а.
      4. Поглощения
                               а I (а U в) = а ,    а U (а I в) = а .
      5. Решетка называется дистрибутивной, если справедлив, кроме того, дистрибу -
тивный закон:
               а I (в U с ) = ( а I в ) U ( а I с ) , а U (в I с ) = ( а U в ) I ( а U с ) .

       Решетка называется ограниченной сверху (снизу), если она имеет максимальный
(минимальный) элемент. Решетка ограничена, если она ограничена сверху и снизу.
       Дополнением любого элемента а ∈ А называется такой элемент а , если
а U а = 0 , а I а = 0 , где 1 и 0 – соответственно обозначения максимального и
минимального элементов ограниченной решетки.
       Решетка называется решеткой с дополнениями , если каждый элемент решетки
имеет хотя бы одно дополнение. Ограниченная дистрибутивная решетка с дополнениями
называется булевой решеткой , которая фактически задает булеву алгебру.


                                    Мощность множеств.

       Два множества называются количественно эквивалентными, или просто эквива-
лентными, если между ними можно установить взаимно однозначное соответствие.
       Мощность – это то общее, что есть у эквивалентных между собой множеств, т.е.
при сравнении множеств абстрагируются от ''физической сущности'' элементов и
порядке, в котором они расположены.
       Говорят, что множество, эквивалентное N (множеству натуральных чисел), имеет
счетную мощность.
       Мощность счетного множества часто обозначают Х0 (алеф-нуль).
Г. Кантором доказана теорема, утверждающая, что мощность R (множество действитель-
ных чисел) больше Х0 . Говорят, что R имеет мощность континуума. Мощность
континуума обычно обозначают Х1 или С . Диагональный метод доказательства теоремы
Кантора, кроме того, позволяет записать выражение Х0 < Х1 =                 2 Х0 .   Более того, не
существует наибольшего бесконечного множества, т.е.
                              Х0 < Х1 < Х2 =   2 Х 1 < Х3 = 2 Х 2 < …

      30. Найти максимальный, минимальный, наибольший и наименьший элементы
для множеств, представленных диаграммами Хассе на рис.24.
       8                  8
       7                                                                                     2
       6                                 4              5         6
       5     5            6         7
       4
                                                                        1   2    3
       3                  3
              2                      4                            3
       2                                 1              2
                                                                                        1        3
       1
                         1