Теория множеств. - 14 стр.

                                               - 13 -                                 Теория множеств


y = x, не включающих точки самой линии (рис.22)




                                            Рис.22



                          РЕШЕТКИ . МОЩНОСТЬ МНОЖЕСТВ.

      Множество А с заданным на нем частичным порядком называется частично
упорядоченным . Элемент х ∈ А называется наибольшим (наименьшим), если для всех
а справедливо, что а ∈ А ≤ х ( х ≤ а ∈ А) . Минимальным (максимальным) элементом
частично упорядоченного множества А называется такой элемент в ∈ А , когда в А нет
элемента строго большего (строго меньшего) в .
      Пусть дано Ø ⊆ В ⊆ А , где А – частично упорядоченное множество. Мажорантой В
называется такой элемент а ∈ А , где а является наибольшим элементом для В;
минорантой назовем элемент в ∈ А , когда в является наименьшим элементом для В .
Множества мажорант В образует верхнюю грань множества В. Множество минорант В
образует нижнюю грань множества В. Наименьший из элементов верхней грани В
называется точной верхней гранью (supremum) – Sup В. Наибольший из элементов
нижней грани В называется точной нижней гранью (infimum) – Inf B.
      Частичный порядок, заданный на множестве, в котором для любых двух
элементов а, в ∈ А существует Sup (а, в) и Inf (а, в) называется решетчатым порядком, а
само множество – решеткой.
                       Алгебраическое представление решеток.

      Введем обозначения:
                         Sup (а, в) = а U в , Inf (а, в) = а I в .
      В данном случае символы I , U – это не знаки операций объединения и пересе-
чения множеств, а знаки бинарных операций, производимых над элементами частично
упорядоченных множеств.
      Решеткой называется такое частичное упорядоченное множество, для элементов
которого справедливы следующие законы:

      1. Коммутативный
                                  аIв=вIа,           аUв=вUа.
      2. Ассоциативный
                   а I (в I с ) = ( а I в ) I с ,    а U (в U с ) = ( а U в ) U с .
      3. Идемпотентности