Теория множеств. Учебное пособие - 1 стр.

                                      ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ




  1. Множества
  Понятие множества относится к числу простейших и в то же время фундаментальных понятий
математики. Это понятие является неопределимым — его нельзя свести к каким-то более простым
математическим объектам, но можно пояснить с помощью наглядных примеров. Множества — это
совокупности каких-то объектов произвольной природы, и эти объекты называются элементами
того или иного множества. Тот факт, что какой-то объект e является элементом множества E,
записывается в виде
                                        e ∈ E или E ∋ e
и выражается словами
                               e принадлежит (множеству) E,
или
                           (множество) E содержит (элемент) e,
или
                           e является элементом (множества) E.
Если хотят сказать, что e не является элементом множества E, то пишут
                                                / E или E 6∋ e
                                               e∈
(иногда также используется обозначения e∈¯ E и E∋¯ e).
  Простейший способ описания множества состоит в перечислении его элементов. Например,
запись
                                       S = { ♠, ♣, ♦, ♥ }                                 (1)
определяет множество карточных мастей, и тот факт, что символ пик ♠ является мастью,мы
можем записать в виде ♠ ∈ S, где S задано равенством (1).
  Другой способ задания множеств — их словесное описание. Например, можно сказать: «Рас-
смотрим множество студентов, поступивших в МГТУГА в 2003 году», или: «Пусть X — множество
всех камней, лежащих на обратной стороне Луны». Из этих двух примеров видно, что словесные
описания не всегда позволяют точно понять, какое множество имеется в виду: если в первом слу-
чае можно перечислить все элементы (например, просмотрев списки поступивших студентов), то
во втором случае это не так — что есть камень, что называть обратной стороной да и как на эту
сторону попасть?
  Чтобы избежать подобных проблем, в математике обычно используют более формальные спо-
собы описания множеств. Например, запись
                                              N2 = { 2n | n ∈ N },
где N — множество натуральных чисел1, определяет множество чётных чисел (конечно, если мы
знаем, что такое натуральные числа). Ещё один пример: равенство
                                  C = { (x, y) | x2 + y 2 = 1, x, y ∈ R }
определяет множество точек, лежащих на окружности единичного радиуса с центром в начале
координат.
  1Что такое натуральные и другие числа, нам ещё предстоит выяснить — см. § 3 и § 4. Пока же будем исходить
из наивного, школьного представления о них.
                                                       1