Теория множеств. Учебное пособие - 5 стр.

                                     ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ                                      5

Кванторы. При описании свойств математических объектов часто используют так называемые
кванторы. Важнейшими из них являются квантор общности, обозначаемый символом ∀, и кван-
тор существования, обозначаемый через ∃. При этом запись
                                   ∀a ∈ A (высказывание)
означает, что любой элемент множества A обладает свойствами, описываемыми соответствующим
высказыванием, а запись
                                   ∃a ∈ A (высказывание)
означает, что существует хотя бы один элемент, обладающий этими свойствами.
  Например, запись
                                ∃M ∈ R : ∀a ∈ A ⊂ R, a < M                            (17)
означает, что подмножество действительных чисел A обладает следующим свойством: существует
такое действительное число M , что любое число a из этого подмножество не превосходит M
(иными словами, множество A ограничено сверху).
  Чтобы построить отрицание какой-то записи, содержащей кванторы, нужно ∀ заменить на ∃
и наоборот, а смысл высказываний поменять на противоположный. Например, отрицание запи-
си (17) выглядит следующим образом:
                                ∀M ∈ R : ∃a ∈ A ⊂ R, a > M
и выражает тот факт, что множество A нельзя ограничить сверху никаким числом.

Необходимость и достаточность. Понятия необходимости и достаточности являются важ-
нейшими составляющими многих математических рассуждений и доказательств.
   Некоторое свойство X называется достаточным для того, чтобы объект обладал свойством Y ,
если наличие свойства X влечёт за собой наличие свойства Y . Например, для того, чтобы че-
тырёхугольник являлся прямоугольником, достаточно, чтобы он был квадратом. Или: для того,
чтобы число делилось на три, достаточно, чтобы сумма его цифр делилась на девять. Пусть B —
множество объектов, обладающих свойством X, а A — множество объектов, обладающих свой-
ством Y . Тогда X достаточно для Y означает, что B ⊂ A. Например, множество квадратов яв-
ляется подмножеством множества прямоугольников. На языке логике достаточность выражается
записью X ⇒ Y : «если квадрат, то прямоугольник».
   Если свойство X достаточно для Y , то, в свою очередь, Y необходимо для X. Так, для то-
го, чтобы четырёхугольник был квадратом, необходимо, чтобы он был прямоугольником. Чтобы
число делилось на четыре, необходимо, чтобы оно было чётным.
   Условие, являющееся одновременно и необходимым, и достаточным называется необходимым
и достаточным. Например, для того, чтобы ромб являлся квадратом, необходимо и достаточно,
чтобы он был прямоугольником. Необходимость и достаточность в математических текстах часто
выражаю словами «тогда и только тогда»: натуральное число тогда и только тогда делится на
три, когда сумма его цифр кратна трём. Ещё одно синонимичное выражение — «в том и только в
том случае»: треугольник является равнобедренным в том и только в том случае, когда одна из
его высот совпадает с соответствующей биссектрисой.


  2. Отображения и отношения
  Понятие отображения, или соответствия, как и понятие множества, также принадлежит к
числу основополагающих и неопределимых понятий математики. Говорят, что f — отображение из
множества A в множество B, если задан закон, правило, позволяющие по каждому элементу a ∈
A однозначно определить элемент f (a) ∈ B. При этом элемент b = f (a) называется образом
элемента a при отображении f , а элемент a — прообразом элемента b. Множество всевозможных
образов отображения f обозначается через f (A):
                           f (A) = { b ∈ B | b = f (a), ∀a ∈ A } ⊂ B.