Теория множеств. Учебное пособие - 6 стр.

6                                     ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Множество прообразов элемента b обозначается через f −1 (b):
                               f −1 (b) = { a ∈ A | b = f (a) } ⊂ A.
Если f — отображение из A в B, то пишут f : A → B. Множество отображений из A в B обозна-
чается через B A .
  Отображение f : A → B называется отображением на (или сюръекцией), если f (A) = B, то
есть если любой элемент множества A является образом некоторого элемента из B:
                                   ∀b ∈ B ∃a ∈ A : b = f (a).
Отображение называется вложением (или инъекцией), если прообраз любого элемента из B со-
держит не более одного элемента из A:
                               ∀a, a′ ∈ A : f (a) = f (a′ ) ⇒ a = a′ .
Наконец, отображение f : A → B называется взаимно-однозначным соответствием (или биекци-
ей), если оно одновременно является и инъецией, и сюръекцией, то есть если любой элемент b ∈ B
является образом какого-то элемента a ∈ A, и всякий b ∈ B обладает ровно одним прообразом.

  Пример 1. Пусть K — колода карт, то есть множество всевозможных карт различной масти и
достоинства. Сопоставим каждой карте её масть. Тем самым мы определим отображение f : K →
S в множество S, заданное записью (1), поскольку всякая карта обладает единственной мастью.
Это отображение является сюръекцией.

  Пример 2. Пусть отображение f : R → R сопоставляет каждому действительному числу его
квадрат. Тогда
                                     √    √
                                    { y, − y}, если y > 0,
                                    
                          f −1 (y) = {0},        если y = 0,
                                    
                                    
                                     ∅           если y < 0,
и f (R) есть множество всех неотрицательных чисел.

    Пример 3. Рассмотрим действительное число x и сопоставим ему такое число y, что
                                              y2 = x                                      (18)
Эта конструкция не задаёт отображения, поскольку, во-первых, квадратный корень можно из-
влекать только их неотрицательных чисел и, во-вторых, при x > 0 существует два значения y,
определяемых уравнением (18). Если, однако, рассматривать только неотрицательные x и выбрать
какое-то одно значение корня (например, y > 0), то мы получим взаимно-однозначное соответ-
ствие из множества неотрицательных действительных чисел в себя. То же самое отображение,
понимаемое как отображение во всё множество действительных чисел, является инъекцией.

  Пусть A — произвольное множество. Тогда отображение idA : A → A, сопоставляющее каждому
элементу a ∈ A его самого, то есть
                                      ∀a ∈ A : idA (a) = a,
называется тождественным. Если понятно, какое множество имеется в виду, пишут просто id.
  Если A, B и C — множества, а
                                   f : A → B,        g: B → C
— отображения, то можно определить отображение g ◦ f : A → C, полагая
                                (g ◦ f )(a) = g(f (a)),      a ∈ A.
Это отображение называется композицией отображений f и g.