Теория множеств. Учебное пособие - 7 стр.

                                          ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ                                      7

  Предложение 3. Если f : A → B, g : B → C и h : C → D — произвольные отображения
множеств, то
                              h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f                      (19)
и
                                      idB ◦f = f,     f ◦ idA = f.                          (20)
Кроме того, композиция сюрьекций является сюръекцией, а инъекций — инъекцией.
    Отображение g : B → A называется обратным к отображению f : A → B, если
                                     g ◦ f = idA ,    f ◦ g = idB .
Очевидно, что и g обратно к f . В этом случае пишут g = f −1 и f = g−1 и отображения называют
взаимно обратными.
  Предложение 4. Отображение f : A → B обладает обратным тогда и только тогда, когда оно
является взаимно-однозначным соответствием.

Декартово произведение. Пусть A и B — множества.
  Определение 1. Декартовым (или прямым) произведением множеств A и B называется мно-
жество
                           A × B = { (a, b) | a ∈ A, b ∈ B },
состоящее состоящее из всевозможных упорядоченных пар элементов a ∈ A и b ∈ B. Отображе-
ния prA : A × B → A и prB : A × B → B, задаваемые условиями
                                   prA (a, b) = a,     prB (a, b) = b,
называются проекциями на левый и правый сомножители.
    Пример 4. Если N — множество различных достоинств карт из колоды, то есть
                                   N = {2, 3, . . . , 10, В, Д, К, Т},
а S — множество мастей, то N × S — множество всех карт колоды. Например, пара (Т, ♠) — это
туз пик, пара (3, ♣) обозначает тройку треф и т.п.
  Пример 5. Всевозможные прямоугольные таблицы — это прямые произведения, в которых од-
ним сомножителем является множество имён строк, а вторым — множество имён столбцов. При
этом заполненная таблица является отображением из этого произведения в множество соответ-
ствующих значений.
  Пример 6. Если X = [x, x′ ] и Y = [y, y ′ ] — отрезки, то X × Y — прямоугольник со сторонами X
и Y.
    Пример 7. Декартово произведение R × R — это плоскость.
  Предложение 5. Пусть A и B — множества. Тогда отображение f : A × B → B × A, опреде-
лённое равенством
                          f (a, b) = (b, a), a ∈ A, b ∈ B,
является биекцией. Если C — третье множество, то отображение g : (A × B) × C → A × (B × C),
определённое равенством
                        g((a, b), c) = (a, (b, c)),   a ∈ A,    b ∈ B,   c ∈ C,
— также биекция.

    Пусть A — множество. Рассмотрим множество An = A     · · × A}.
                                                   | × ·{z
                                                                n раз