Теория множеств. Учебное пособие - 9 стр.

                                       ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ                                     9

  Пусть ∼ — отношение эквивалентности на множестве A. Подмножество
                                    [a] = { b ∈ A | b ∼ a } ⊂ A
называется классом эквивалентности элемента a (построенным по отношению ∼).
  Предложение 6. Любые два класса эквивалентности либо не пересекаются, либо совпадают.
  Определение 4. Множество классов эквивалентности, построенных по некоторому отноше-
нию ∼, называется фактормножеством и обозначается через A/ ∼. Сопоставление каждому
элементу a ∈ A его класса эквивалентности называется факторотображением, или отображени-
ем факторизации:
                                 π : A → A/ ∼,    π(a) = [a].
  Пример 15. В примере 12 фактормножеством является множество мастей, а отображение фак-
торизации сопоставляет каждой карте её масть.
  Пример 16. В примере 13 каждому классу эквивалентности можно сопоставить угол между
соответствующим лучом и положительным направлением оси OX, а фактормножество отожде-
ствить, например, с единичной окружностью с центром в начале координат.
  Пример 17. В примере 14 множества объединяются в классы эквивалентности, содержащие
равномощные множества. Такой класс эквивалентности называется кардинальным числом, хотя
и не является числом в обычном понимании (см. ниже).

Отношения порядка. Пусть A — множество.
  Определение 5. Отношение R ⊂ A × A называется отношением порядка, если оно обладает
следующими свойствами:
                  рефлексивность:                           aRa,                        (26)
                  транзитивность:                           aRb & bRc ⇒ aRc,            (27)
                  антисимметричность:                       aRb & bRa ⇒ a = b.          (28)
Если множество снабжено отношением порядка, оно называется упорядоченным. Если отношение
порядка обладает дополнительным свойством
                                     ∀a, b ∈ A : aRb ∨ bRa,                             (29)
то множество называется линейно упорядоченным.
  Отношение порядка часто обозначается символом 6. В этом случае свойства (26)—(28) перепи-
шутся в виде
                 рефлексивность:                          a6a
                 транзитивность:                          a6b&b6c⇒a6c
                 антисимметричность:                      a 6 b & b 6 a ⇒ a = b,
а свойство (29) — в виде
                                    ∀a, b ∈ A : a 6 b ∨ b 6 a.
  Пример 18. Отношение «меньше» является отношением линейного порядка на множестве на-
туральных (а также целых, рациональных и действительных) чисел.
  Пример 19. Свойство множества быть подмножеством другого определяет отношение порядка
на множестве 2A , где A — какое-то множество. Этот порядок не является линейным.
  Пример 20 (лексикографический порядок). Пусть A — какой-то алфавит (например, кирилли-
ческий или латинский), то есть конечное и линейно упорядоченное множество букв. Тогда множе-
ство слов, записанных в этом алфавите тоже линейно упорядочено (как это сделано в словарях).
Этот порядок слов называется лексикографическим.