Теория множеств. Учебное пособие - 10 стр.

10                                          ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Кардинальные числа. В примере 17 было введено понятие кардинального числа как класса
эквивалентности равномощных множеств. Поскольку, по определению, все множества с данным
кардинальным числом имеют одну и ту же мощность, понятие кардинального числа и понятие
мощности — это одно и то же. Кардинальное число множества A (или его мощность) обозначается
через |A| (иногда через #(A)).
  Пример 21. Пусть T множество, состоящее из двух элементов. Тогда множество подмножеств
любого множества A равномощно множеству T A , состоящему из всевозможных отображений их A
в T.
     Мощности множеств можно сравнивать.
  Определение 6. Пусть A и B — множества. Скажем, что |A| 6 |B| (то есть множество A не
мощнее множества B), если A равномощно какому-нибудь подмножеству множества B. Скажем,
что |A| < |B|, если |A| 6 |B| и A не равномощно B.
     Предложение 7. Пусть A — произвольное множество. Тогда |A| < |2A |.
  Определение 7. Множество называется бесконечным, если оно равномощно своему собствен-
ному подмножеству.
     Арифметика изучает кардинальные числа множеств, не являющихся бесконечными.


     3. Натуральные числа, целые и рациональные числа
                                                         Господь дал людям единицу, а остальное они
                                                         придумали сами.
                                                         Широко известный факт
  На самом деле, построение всей математики можно начать с пустого множества. Положим #(∅) =
0 — это определение нуля! Единица — это кардинальное число множества 2∅: #(2∅) = 1, и мно-
жество 2∅ содержит ровно один элемент. Располагая этим множеством, мы можем построить
множества с произвольным конечным числом элементов. Так, множество мощности 2 получает-
ся объединением двух одноэлементных множеств, и, если построено множество мощности n, то
множество мощности n + 1 получается из предыдущего добавлением одноэелементного множе-
ства. Получаемые таким образом кардинальные числа называются натуральными. Множество
натуральных чисел линейно упорядочено,
                                      1 < 2 < ··· < n < n + 1 < ...,
обозначается через N и называется натуральным рядом.
  Замечание 2. Натуральный ряд обладает более сильным свойством, чем линейный порядок:
у каждого натурального числа есть последующее и каждого, кроме единицы, — предыдущее.

Аксиома индукции. Заметим, что само определение натуральных чисел индуктивно: следую-
щее натуральное число определяется добавлением единицы к предыдущему. Это отражает важ-
нейшее свойство натурального ряда, которое называется аксиомой (или принципом) математи-
ческой индукции: если какое-то утверждение верно для 1 и из предположения, что оно верно
для n, следует, что оно верно для n + 1, то это утверждение верно для всех натуральных чисел5.
  Принцип математической индукции является одним из основных при определении понятий и
доказательстве различных утверждений, относящихся к натуральным числам. Например, сложе-
ние и умножение натуральных чисел определяется по индукции следующим образом:
                   Сложение:                                     Умножение:
     5Мы предполагаем, что натуральный ряд начинается с единицы. Можно считать, что он начинается с нуля, —
это вопрос договорённости.