Теория множеств. Учебное пособие - 12 стр.

12                                     ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

Рациональные числа. Как и числа целые, рациональные числа возникают при решении урав-
нения
                                  mx + n = 0,     m, n ∈ Z,                              (31)
которое, вообще говоря, неразрешимо в целых числах. Чтобы сделать уравнение (31) разрешимым,
вводят понятие рациональной дроби, и делается это следующим образом.
  Рассмотрим прямое произведение Z × Z и подмножество
                             Q = { (m, n) | m, n ∈ Z, n 6= 0 } ⊂ Z × Z.
     Введём на множестве пар (m, n) ∈ Q отношение P , полагая
                                  (m, n)P (m′ , n′ ) ⇔ mn′ = nm′ .                         (32)
     Предложение 8. P — отношение эквивалентности.
  Обозначим через m  n класс эквивалентности пары (m, n) и назовём этот класс рациональной
дробью с числителем m и знаменателем n. На множестве рациональных дробей можно ввести
операции сложения и умножения, полагая
                              m k      ml + kn      m k     mk
                                + =            ,       · =     .                         (33)
                              n   l       nl        n l     nl
Ситуация оказывается, однако, не столь простой, как это кажется на первый взгляд. Дело в том,
что по определению рациональная дробь это класс эквивалентности, то есть множество, а опре-
деление операций, данное равенствами (33), фактически формулируется в терминах отдельных
элементов, то есть представителей этих классов. Поэтому, вообще говоря, может случиться так,
что выбрав два разных представителя, мы получим разные результаты. Чтобы этого не случилось,
определение (33) должно быть, как говорят в математике, корректным. Это означает следующее.
  Предложение 9. Пусть (m, n) и (m′ , n′ ), а также (k, l) и (k′ , l′ ) — пары, эквивалентные в
смысле отношения эквивалентности (32). Тогда пары
                                (ml + kn, nl),     (m′ l′ + k′ n′ , n′ l′ )
и
                                     (mk, nl),     (m′ k′ , n′ l′ )
также эквивалентны.
  Это и означает, что сложение и умножение рациональных дробей действительно определено на
множестве этих дробей, а не на отдельных парах, из которых эти дроби строятся.
  Замечание 4. Класс эквивалентности пары (m, n) состоит из всевозможных дробей, которые
приводятся друг к другу «сокращением числителя и знаменателя на общий множитель». То есть
вводя отношение эквивалентности (32), мы на самом деле говорим, что, скажем, 12 и 24 — это одно
и то же. К сожалению, никак проще, чем это было сделано выше, этого сделать нельзя (если мы,
конечно, хотим придерживаться математической строгости).
  Полученное множество дробей обозначается через Q и называется полем рациональных чисел.
В этом поле можно складывать, вычитать, умножать и, в отличие от целых чисел, делить на
любую ненулевую дробь. Существует инъекция множества целых чисел в поле Q: каждому целому
числу m можно сопоставить дробь m
                                1.
  Может показаться, что рациональных чисел «гораздо больше», чем целых. На самом деле это
не так.
     Предложение 10. Множество Q рациональных чисел счётно.
  Заметим также, что множество рациональных чисел линейно упорядочено: m           k
                                                                             n 6 l тогда и
только тогда, когда
                                       (ml − nk)nl 6 0.                                  (34)
Этот порядок согласован с порядком, заданным на множестве целых чисел: если m, n ∈ Z, то m 6
n тогда и только тогда, когда m   n
                              1 6 1.