Теория множеств. Учебное пособие - 14 стр.

14                                        ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

      4) ∀p ∈ A, q ∈ A′ ⇒ p < q.
Множество A называется нижним классом сечения, а множество A′ — его верхним классом.
  Иными словами, сечение — это такое разбиение множества рациональных чисел на два подмно-
жества, что любое рациональное число попадает в одно из этих подмножеств (но не в оба вместе) и
всякое число из нижнего класса строго меньше всякого числа, принадлежащего верхнему классу.
     Пример 22. Пусть
                                     A = { p ∈ Q | p2 > 2 & p > 0 }
и
                              A′ = { q ∈ Q | (q 6 0) ∨ (q 2 6 2 & q > 0) }.
Пара (A,A’) — сечение множества рациональных чисел.
     Пример 23. Пара
                             A = { p ∈ Q | p < 0 },   A′ = { q ∈ Q | q > 0 }.
является сечением.
     Пример 24. Пара
                             A = { p ∈ Q | p 6 0 },   A′ = { q ∈ Q | q > 0 }
также является сечением.
   Сечение, построенное в примере 22, принципиально отличается от сечений, построенных в двух
других примерах. Именно, сечения из примеров 23 и 24 определяются рациональными числами,
в то время как в примере 22 это не так — там построено новое число. Это, как нетрудно видеть,
квадратный корень из 2.
  Определение 9. Сечение множества рациональных чисел называется рациональным, если ли-
бо его верхний класс содержит минимальный элемент, либо его нижний класс содержит макси-
мальный элемент. В противном случае сечение называется иррациональным.
     Сечения из примеров23 и 24 рациональны, а сечение, описанное в примере 22, иррационально.

Действительные числа. В определении 9 введены два типа рациональных сечений. Таким об-
разом, все рациональные сечения разбиваются на пары, задаваемые одним и тем же рациональ-
ным числом. Мы всегда для определённости будем предполагать, что это число лежит в верхнем
классе.
  Определение 10. Множество R, составленное из все иррациональных сечений, а также та-
ких рациональных сечений, что их верхний класс содержит минимальный элемент, называется
множеством действительных (или вещественных ) чисел.
  Элементы множества R называются действительными (или вещественными) числами. Если
действительному числу соответствует рациональное сечение, то оно называется рациональным; в
противном случае оно называется иррациональным.
  Два действительных числа считаются равными, если верхние классы (или, эквивалентно, ниж-
ние классы) соответствующих им сечений совпадают.
  Свойства действительных чисел можно подразделить на два типа — теоретико-множественные
и алгебраические, — и изучению этих свойств посвящена оставшаяся часть настоящей главы.
Теоретико-множественные свойства. Первое замечательное свойства множества действитель-
ных чисел состоит в следующем.
     Теорема 1. Множество R равномощно множеству подмножеств множества N.