Теория множеств. Учебное пособие - 16 стр.

16                                   ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

  Если множество не ограничено сверху, то пишут sup X = +∞, а если оно не ограничено снизу,
то inf X = −∞.
   Теорема 3. Всякое подмножество X ⊂ R, ограниченное снизу (сверху), имеет точную нижнюю
(верхнюю) грань.
  Замечание 7. Для подмножеств множества рациональных чисел это, вообще говоря, не верно.
Например, множество
                                              1 
n
                                   E ={ 1+         | n ∈ N}
                                              n
ограничено сверху, но не имеет точной верхней грани среди рациональных чисел.

  Прежде чем переходить ко второй группе свойств, установим связь между данным выше фор-
мальным определением действительного числа и привычным представлением о нём.
Приближение действительных чисел десятичными дробями. Те действительные числа,
с которыми люди сталкиваются в «обыденной жизни», являются, как правило, десятичными дро-
бями. Это не случайно.
  Предложение 12. Пусть α — действительное число. Тогда для любого рационального чис-
ла ε > 0 найдутся такие конечные десятичные дроби d и d′ , что d − d′ 6 ε и d 6 α 6 d′ .
   Число d называется приближением с недостатком, число d′ — приближением с избытком,
а ε — точностью приближения.
   Предложение 12 означает, что произвольные действительные числа можно мыслить себе как
бесконечные десятичные дроби. Рассмотрим такую дробь и обозначим k-ю десятичную цифру
после запятой через ck (если дробь конечна и имеет длину < k, то ck = 0). Скажем, что дробь
периодическая, если найдутся такие натуральные числа K и p, что
                                    ck = ck+p ,   ∀k > K.
  Предложение 13. Действительное число является рациональным тогда и только тогда, когда
соответствующая ему десятичная дробь является периодической.

Арифметические операции и их свойства.
  Определение 13. Пусть α и β — действительные числа. Их суммой называется число γ, удо-
влетворяющее неравенствам
                                        a + b 6 γ 6 a′ + b′ ,
где a, a′ , b, b′ — произвольные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам
                                  a 6 α 6 a′ ,    b 6 β 6 b′ .
Сумма обозначается через α + β.
  Предложение 14. Для любых действительных чисел их сумма существует, единственна и
обладает следующими свойствами:
   1) α + β = β + α,
   2) α + (β + γ) = (α + β) + γ,
   3) α + 0 = 0 + α = α,
   4) для любого α существует такое число −α (число, противоположное α), что α + (−α) =
      (−α) + α = 0,
   5) если α < β, то и α + γ < β + γ для любого γ ∈ R.
     Определим модуль (или абсолютную величину) числа α, полагая
                                        (
                                         α,   если α > 0,
                                  |α| =
                                         −α, если α < 0.