Теория множеств. Учебное пособие - 15 стр.

                                            ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ                                15

  Мощность множества действительных чисел обозначается через ℵ. Из предложения 7 следует,
что она больше ℵ0 . Можно также условно записать, что ℵ = 2ℵ0 . Про множества, равномощные R,
говорят, что они имеют мощность континуума.
  Второе важное свойство действительных чисел — их линейная упорядоченность. Предположим,
что α и β — действительные числа и A и B — нижние классы соответствующих сечений.
  Определение 11. Мы говорим, что α 6 β, если A ⊂ B.
  Предложение 11. Введённое в определении 11 отношение является отношением линейного
порядка на множестве действительных чисел. Более того, этот порядок согласован с линейным
порядком (34), определённым на множестве Q рациональных чисел.
  Построенное нами отношение порядка обладает свойствами, описываемыми следующими тремя
утверждениями.
  Лемма 1. Если α и β — действительные числа и α < β, то всегда найдётся бесконечное мно-
жество таких рациональных чисел r, что α < r < β.
  Лемма 2. Если α и β — такие действительные числа, что для любого рационального числа ε > 0
найдутся такие рациональные числа r и r ′ , что
                                r 6 α 6 r′,    r 6 β 6 r′,   r − r ′ 6 ε,
то α = β.
  Лемма 3. Если α — действительное число, то всегда найдётся такое целое число n, что n 6
α < n + 1.
  Число n, возникающее в лемме 3, называется целой частью действительного числа α и обозна-
чается через [x]. Разность x − [x] называется дробной частью и обозначается через {x}.
  Поскольку множество действительных чисел упорядочено, в нём, точно так же, как это было
сделано в определении 8 для рациональных чисел, можно ввести понятие сечения. Оказывается,
ничего нового мы не получим:
  Теорема 2 (теорема Дедекинда о непрерывности R). Если (A, A′ ) — сечение множества дей-
ствительных чисел, где A — нижний класс, а A′ — верхний, то существует такое действительное
число α, что либо
                        A = { β ∈ R | β 6 α }, A′ = { β ∈ R | β > α },
либо
                        A = { β ∈ R | β < α }, A′ = { β ∈ R | β > α }.
  Замечание 6. По этой причине множество действительных чисел иногда называют контину-
умом 7, а равномощные ему, как уже отмечалось, множествами мощности континуума.
  Последнее свойство действительных чисел, связанное с отношением порядка, относится к огра-
ниченным модмножествам в R.
  Определение 12. Пусть X ⊂ R — подмножество.
   1) Оно называется ограниченным сверху, если существует такое число M ∈ R, что x 6 M для
      любого x ∈ X.
   2) Оно называется ограниченным снизу, если существует такое число m ∈ R, что x > M для
      любого x ∈ X.
   3) Наименьшее из чисел, ограничивающих X сверху, называется точной верхней гранью и
      обозначается через sup X.
   4) Наибольшее из чисел, ограничивающих X снизу, называется точной нижней гранью и
      обозначается через inf X.
  7От латинского continuum — непрерывное.