Теория множеств. Учебное пособие - 17 стр.

                                      ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ                                        17

  Определение 14. Пусть α и β — положительные действительные числа. Их произведением
называется число γ, удовлетворяющее неравенствам
                                           αβ 6 γ 6 α′ β ′ ,
где a, a′ , b, b′ — произвольные рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам
                               0 < a 6 α 6 a′ ,       0 < b 6 β 6 b′ .
Произведение обозначается через α · β (или αβ). Если β = 0, то мы полагаем
                                        α · 0 = 0 · α = 0.
Для произвольных α и β их произведение определяется следующим образом:
                            (
                              |α| · |β|,    если α и β одного знака,
                     α·β =
                              −(|α| · |β|), если α и β разных знаков.
  Предложение 15. Для любых действительных чисел их произведение существует, единствен-
но и обладает следующими свойствами:
   1) α · β = β · α,
   2) α · (β · γ) = (α · β) · γ,
   3) α · 1 = 1 · α = α,
   4) α · (β + γ) = α · β + α · γ,
   5) для любого числа α 6= 0 существует такое число α−1 (число, обратное к α), что α · α−1 =
      α−1 · α = 1,
   6) если α < β и γ > 0, то и α · γ < β · γ.

Степени и логарифмы. Пусть α — действительное число и n ∈ Z — целое. Положим
                           
                           
                            α · · · · · α, если n > 0,
                           | {z }
                           
                                       n раз
                            αn =
                                   
                                    1,            если n = 0 и α 6= 0,
                                   
                                    1 ,
                                     α−n
                                                   если n < 0 и α 6= 0.
  Предложение 16 (существование корней). Пусть α > 0 — действительное число. Тогда для
любого целого n существует и единственно такое действительное число β > 0, что
                                               β n = α.
                                                                         √                  1
  Число β называется корнем n-й степени√ из α0 и√обозначается либо через n α, либо через α− n .
Если α < 0 и n нечётно, то мы полагаем n α = − n −α. Для любого рационального числа r = m   n
положим                                            1
                                        αr = (αm ) n
во всех случаях, когда это выражение имеет смысл.
  Определение 15. Пусть α > 1 и β — действительные числа. Степенью числа α с показате-
лем β называется такое число γ, что
                                                   ′
                                        αb 6 γ 6 αb
где b и b′ — любые рациональные числа, удовлетворяющие неравенствам
                                           1 < b 6 β 6 b′ .
Степень обозначается через αβ . Если 0 < α < 1, то мы полагаем
                                               −β
                                                1
                                        αβ =         .
                                                α
  Предложение 17. Для любых действительных чисел α > 0 и β их степень αβ существует,
единственна и обладает следующими свойствами: