Теория множеств. Учебное пособие - 13 стр.

                                       ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ                                          13

  Замечание 5. Фактически, к понятию рационального числа пришли ещё древние греки (и, как
ни странно, рациональные числа были «изобретены» гораздо раньше, чем целые отрицательные).
Правда, они использовали не абстрактный алгебраический язык, а язык геометрии, рассматривая
задачу о соизмеримости отрезков. Они же обнаружили существование несоизмеримых отрезков,
то есть, говоря современным языком, иррациональных чисел. Что́ это такое, мы обсудим в § 4.


  4. Действительные числа
                                                    Действительные числа проходят в школе.
                                                    Распространённое заблуждение
  Хотя по-настоящему строго действительные числа были определены только во второй половине
XIX в. Р. Дедекиндом, представление об их существовании существовало, как уже отмечалось,
ещё у древних греков.
Несоизмеримые отрезки. Два отрезка называются соизмеримыми, если они имеют общую
меру, то есть если существует такой отрезок, который укладывается целое число раз и в первом,
и во втором отрезке. Если такого отрезка нет, отрезки называются несоизмеримыми. Примером
несоизмеримых отрезков являются сторона и диагональ квадрата. Действительно, если принять
сторону квадрата за a, а длину диагонали за c, то из теоремы Пифагора будет следовать, что
                                            c2 = 2a2 .                                        (35)
Соизмеримость означает, что c = ml, a = nl, где l — общая мера. Поэтому уравнение (35) пере-
пишется в виде
                                     m2 = 2n2 ,    m, n ∈ N.                                (36)
Можно считать, что числа m и n не имеют общего множителя (в противном случае на этот
множитель можно было бы сократить). Из уравнения (36) следует, что число m делится на 2, то
есть m = 2k, k ∈ Z. Значит, 2k2 = n2 и, следовательно, n тоже делится на 2. Но это противоречит
предположению о том, что m и n не имеют общего множителя. Следовательно, представление (36)
невозможно.

Последовательные приближения. Несмотря на полученный выше отрицательный результат,
мы можем сколь угодно точно найти выражение величины c через a. Именно, положим c = ax, и
тогда равенство (35) примет вид
                                            x2 = 2.                                           (37)
              2        2
Поскольку 1 < 2, а 2 > 2, искомое решение, если оно существует, должно лежать в интерва-
ле (1, 2). Рассмотрим середину этого интервала — число 32 ; оно отличается от решения не более,
чем на 12 . Далее очевидно, что решение должно лежать в интервале (1, 32 ), поскольку ( 32 )2 > 2.
Следовательно, число 54 , — середина интервала (1, 32 ), — отличается от решения не более, чем
на 14 . На следующем шаге мы замечаем, что решение лежит в интервале ( 54 , 32 ) и так далее, до
бесконечности.
  Рассмотренный пример показывает, что существует «нечто», являющееся решением уравне-
ния (37), но это — не рациональное число, хотя и может быть как угодно точно приближено
рациональными числами. Что это такое, объясняется ниже.
Сечения Дедекинда. Итак, мы установили, что в множестве рациональных чисел имеются
лакуны, разрывы. Оказывается, эти разрывы можно «заклеить».
  Определение 8. Пара подмножеств (A, A′ ), где A, A′ ⊂ Q, называется сечением множества
рациональных чисел, если выполняются следующие условия:
   1) A, A′ 6= ∅,
   2) A ∪ A′ = Q,
   3) A ∩ A′ = ∅,