Теория множеств. Учебное пособие - 11 стр.

                                            ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ                                                11

                 1 + 1 = 2,                                        1 · 1 = 1,
                 n + (m + 1) = (n + m) + 1,                        n · (m + 1) = n · m + n,
а потом по индукции же доказывается, что эти операции обладают известными свойствами:
     n + m = m + n,                       коммутативность сложения,
     (n + m) + k = n + (m + k),           ассоциативность сложения,
     1 · n = n,                           умножение на единицу тождественно,
     n · m = m · m,                       коммутативность умножения,
     n · (m · k) = (n · m) · k,           ассоциативность умножения,
     n · (m + k) = n · m + n · k,         дистрибутивность умножения относительно сложения.
Докажем, например, что 1 · n = n. Для n = 1 это выполняется по определению. Предположим,
что при n это верно. Тогда из определения умножения и сделанного предположения следует, что
                                      1 · (n + 1) = 1 · n + 1 · 1 = n + 1.
Значит, по принципу индукции это верно для всех n.
  Множество натуральных чисел бесконечно. Его мощность обозначается через ℵ0 , и всякое мно-
жество, имеющее такую мощность, то есть равномощное натуральному ряду, называется счёт-
ным 6.
Целые числа. Целые числа возникают как решения уравнений вида
                                            x + n = 0,      n ∈ N,                                       (30)
которые нельзя решить, находясь внутри натурального ряда. А именно, мы «руками» расширяем
натуральный ряд нулём, а также «значками» вида −n, где n — натуральное число (эти значки
называются отрицательными целыми числами), и полагаем
                                  n + (−1) = {число, предшествующее n},
если n > 1, и далее по индукции
                                         
                                         n − m − 1,
                                                        если n > m + 1,
                         n + (−(m + 1)) = 0,             если n = m + 1,
                                         
                                         
                                           −(m − n + 1), если n < m + 1.
Умножаются целые числа по правилам
                                  (−n) · m = −(nm),       (−n) · (−m) = nm.
Далее можно доказать, что сложение и умножение целых чисел коммутативно, ассоциативно и
дистрибутивно. Полученное множество с операциями сложения и умножения обозначается че-
рез Z. Оно счётно и тоже линейно упорядочено:
                              · · · − (n + 1) < −n < · · · < −1 < 0 < 1 < . . .
Кроме того, в отличие от натуральных чисел, все целые числа можно вычитать друг из друга:
   n − m = n + (−n),       n − (−m) = n + m,         (−n) − m = −(n + m),         (−n) − (−m) = m − n.
  Замечание 3. Пифагор, живший в VI в. до нашей эры, считал, что числа существуют в при-
роде. С тех пор человечество шагнуло далеко вперёд, и, как мы убедились, даже такие «есте-
ственные» числа, как натуральные и целые, создаются «руками».


  6ℵ — первая буква древнееврейского алфавита; читается «а́леф».