Теория множеств. Учебное пособие - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Определение 2. Подмножество R ⊂ A
n
называется n -арным отношением на множестве A.
Говорят, что элементы a
1
, . . . , a
n
связаны отношением R, если
A
n
∋ (a
1
, . . . , a
n
) ∈ R.
В этом случае пишут
a
1
R. . . Ra
n
(21)
Иногда отношением называют запись (21), а само множество R называют графиком этого от-
ношения.
Пример 8. Если n = 1, то отношение называется унарным. Таким образом, у нарные отноше-
ния — это просто подмножества множества A. Например, свойство карты быть бубной является
унарным отношением, определённым на колоде карт.
Пример 9. Если n = 2, то отношение называется бинарным. Например, свойство двух чисел
не иметь общих делителей является бинарным отношением на множестве натуральных чисел.
Свойство двух точек прямой находиться на расстоянии не более заданного числа ε друг от друга
является бинарным отношением на множестве действительных чисел.
Пример 10. Пусть f : A → A — отображение множества A в себя. Ему соответствует бинарное
отношение
G
f
= {(a, f(a)) | a ∈ A } ⊂ A × A, (22)
которое называется графиком отображения f.
Пример 11. Если n = 3, то отношение называется тернарным. Например, свойство трёх точек
быть вершинами равностороннего треугольника — тернарное отношение на плоскости. Свойство
трёх человек быть отцом, матерью и ребёнком я вляется тернарным отношением на множестве
всех людей.
Рассмотрим два важных типа бинарных отношений.
Отношения эквивалентности. Рассмотрим множество A.
Определение 3. Бинарное отношение R ⊂ A ×A называется отношением эквивалентности,
если оно обладает следующими свойствами:
рефлексивность: aRa, (23)
симметричность: aRb ⇒ bRa, (24)
транзитивность: aRb & bRc ⇒ aRc (25)
для любых элементов a, b, c ∈ A.
Очень часто отношения эквивалентности обозначают символом ∼. В этом случае свойства (23)—
(25) перепишутся в виде
рефлексивность: a ∼ a,
симметричность: a ∼ b ⇒ b ∼ a,
транзитивность: a ∼ b & b ∼ c ⇒ a ∼ c.
Пример 12. Свойство двух карт колоды быть одной масти является отношением эквивалент-
ности.
Пример 13. Свойство двух точек плоскости, не совпадающих с началом координат O, лежать
на одном луче, проходящем через O, — отношение эквивалентности.
Пример 14. Скажем, что два множества равномощны (или имеют одинаковую мощность), если
между ними существует взаимно-однозначное соответствие. Равномощность является отношением
эквивалентности.
8                                      ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

  Определение 2. Подмножество R ⊂ An называется n-арным отношением на множестве A.
Говорят, что элементы a1 , . . . , an связаны отношением R, если
                                      An ∋ (a1 , . . . , an ) ∈ R.
В этом случае пишут
                                            a1 R . . . Ran                              (21)
  Иногда отношением называют запись (21), а само множество R называют графиком этого от-
ношения.
  Пример 8. Если n = 1, то отношение называется унарным. Таким образом, унарные отноше-
ния — это просто подмножества множества A. Например, свойство карты быть бубной является
унарным отношением, определённым на колоде карт.
  Пример 9. Если n = 2, то отношение называется бинарным. Например, свойство двух чисел
не иметь общих делителей является бинарным отношением на множестве натуральных чисел.
Свойство двух точек прямой находиться на расстоянии не более заданного числа ε друг от друга
является бинарным отношением на множестве действительных чисел.
  Пример 10. Пусть f : A → A — отображение множества A в себя. Ему соответствует бинарное
отношение
                             Gf = { (a, f (a)) | a ∈ A } ⊂ A × A,                     (22)
которое называется графиком отображения f .
  Пример 11. Если n = 3, то отношение называется тернарным. Например, свойство трёх точек
быть вершинами равностороннего треугольника — тернарное отношение на плоскости. Свойство
трёх человек быть отцом, матерью и ребёнком является тернарным отношением на множестве
всех людей.
    Рассмотрим два важных типа бинарных отношений.
Отношения эквивалентности. Рассмотрим множество A.
  Определение 3. Бинарное отношение R ⊂ A × A называется отношением эквивалентности,
если оно обладает следующими свойствами:
                    рефлексивность:                             aRa,                    (23)
                    симметричность:                             aRb ⇒ bRa,              (24)
                    транзитивность:                             aRb & bRc ⇒ aRc         (25)
для любых элементов a, b, c ∈ A.
  Очень часто отношения эквивалентности обозначают символом ∼. В этом случае свойства (23)—
(25) перепишутся в виде
                  рефлексивность:                            a ∼ a,
                  симметричность:                            a ∼ b ⇒ b ∼ a,
                  транзитивность:                            a ∼ b & b ∼ c ⇒ a ∼ c.
  Пример 12. Свойство двух карт колоды быть одной масти является отношением эквивалент-
ности.
  Пример 13. Свойство двух точек плоскости, не совпадающих с началом координат O, лежать
на одном луче, проходящем через O, — отношение эквивалентности.
  Пример 14. Скажем, что два множества равномощны (или имеют одинаковую мощность), если
между ними существует взаимно-однозначное соответствие. Равномощность является отношением
эквивалентности.

Страницы