Теория множеств. Учебное пособие - 4 стр.

4                                           ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

    Равенства (14) и (15) называются законами двойственности (или правилами де Моргана).
Связь с логикой. Операции над множествами соответствуют тем логическим законам, кото-
рым, как правило, подчиняются разумные рассуждения, используемые в обыденной жизни3. Ма-
тематические модели (схемы) этих рассуждений изучает математическая логика — специальный
раздел математики, — для нас же в данном случае будут полезны обозначения, используемые в
логике, их толкование и связь с теорией множеств. Операции, которые обсуждаются ниже, со-
вершаются над высказываниями, то есть некоторыми утверждениями, которые могут быть либо
истинными, либо ложными.
    Импликация: Импликация высказываний означает, что одно из них следует из другого.
      Импликация обозначается символом ⇒, и ей соответствует вложение множеств: пусть A ⊂
      B, тогда
                                        a ∈ A ⇒ a ∈ B.
      Например, если A — множество всех квадратов, а B — множество прямоугольников, то,
      конечно, A ⊂ B и
                            (a — квадрат) ⇒ (a — прямоугольник)
      (если a является квадратом, то a является прямоугольником).
    Дизъюнкция: Дизъюнкция — это связь высказываний через логическое «или». Она обозна-
      чается через ∨ и соответствует объединению множеств4 :
                                     (a ∈ A) ∨ (a ∈ B) ⇔ (a ∈ A ∪ B).
      Заметим, что логическое «или» имеет объединительный смысл (в отличие от его каждо-
      дневного употребления, когда «или» понимается как «или–или», но не оба вместе). Напри-
      мер, высказывание
                                       (x > 2) ∨ (x < 3)
      означает, что x — любое число.
     Конъюнкция: Конъюнкция — логическое «и» обозначается через & и соответствует пересе-
      чению множеств
                               (a ∈ A) & (a ∈ B) ⇔ (a ∈ A ∩ B).
      Конъюнкция двух высказываний описывает объекты, обладающие и первым, и вторым
      свойством. Например, запись
                                    (a — ромб) & (a — прямоугольник)
      означает, что a является квадратом.
     Отрицание: Отрицание высказывания обозначается символом ¬ и соответствует операции
      дополнения множеств:
                                      ¬(a ∈ A) ⇔ a ∈ A.
      Например, если x — число, то
                                           ¬(x > 0)
      означает, что x 6 0.
   Свойства теоретико-множественных операций (2)–(16) соответствующим образом отражаются
в свойствах высказываний. Например, законы двойственности (14) и (15) на языке высказываний
имеют вид
                                  ¬(x ∨ y) ⇔ (¬x) & (¬y)
и
                                  ¬(x & y) ⇔ (¬x) ∨ (¬y).

    3Как правило, но не всегда, логика реальной жизни значительно богаче формальной!
    4Двойная стрелка ⇔ означает, что высказывания логически эквивалентны, т.е. первое является следствием
(импликацией) второго и наоборот.