ВУЗ:
Рубрика:
2 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Среди всевозможных множеств, изучаемых в математике, есть одно особое. Оно называется
пустым и не содержит ни одного элемента. Пустое множество можно описывать разными спосо-
бами. Например, множество
{x ∈ N | n
2
+ 1 = 0 }
(то есть множество натуральных чисел, квадрат которых равен −1) является пустым. Пустое
множество обозначается через ∅.
Пусть E и E
′
— множества. Множество E
′
называется подмножеством множества E, если
любой элемент из E
′
является элементом множества E. В этом случае используются обозначения
E
′
⊂ E или E ⊃ E
′
.
Из определения следует что любое множество является своим подмножеством, а также пустое
множество является подмножеством любого множества, то есть
E ⊂ E, ∅ ⊂ E.
Говорят также, что E содержит E
′
в качестве подмножества, или E
′
содержится в E. Имеет
место простой и очень важный факт.
Предложение 1. Если E ⊂ E
′
и E
′
⊂ E, то E = E
′
.
Замечание 1. Если множество E
′
является подмножеством множества E, то его называют соб-
ственным подмножеством. Иногда (особенно в старой литературе) символы «⊂» и «⊃» исполь-
зуют для обозначения собственных подмножеств, а когда хотят подчеркнуть, что подмножество
может совпадать со всем множеством, пользуются обозначениями «⊆» и «⊇».
Множество подмножеств. Пусть E — некоторое множество. Тогда можно рассмотреть мно-
жество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества E. Оно обозна-
чается через 2
E
. Например, для множества S, заданного равенством (1), множество 2
S
состоит
из
2
S
0
0
= ∅,
S
1
1
= {♠}, S
2
1
= {♣}, S
3
1
= {♦}, S
4
1
= {♥},
S
1
2
= {♠, ♣}, S
2
2
= {♠, ♦}, S
3
2
= {♠, ♥}, S
4
2
= {♣, ♦}, S
5
2
= {♣, ♥}, S
6
2
= {♦, ♥},
S
1
3
= {♠, ♣, ♦}, S
2
3
= {♠, ♣, ♥}, S
3
3
= {♠, ♦, ♥}, S
4
3
= {♣, ♦, ♥},
S
1
4
= {♠, ♣, ♦, ♥}.
Вообще, если множество E содержит n элементов, то множество 2
E
содержит 2
n
элементов.
Операции над множествами. К важнейшим операциям, которые применяются к множествам,
относятся:
Объединение: Пусть A и B — множества. Их объединением называется множество, содер-
жащее все элементы, принадлежащие либо множеству A, либо B, либо им обоим. Объедине-
ние обозначается через A ∪B. Если есть произвольный набор множеств A
α
, где буква α —
элемент некоторого множества индексов I, то аналогичным образом можно определить
объединение ∪
α∈I
A
α
. Например, если S
j
i
— введённые выше множества мастей, то
S
1
1
∪ S
2
1
= S
1
2
, S
1
2
∪ S
2
2
= S
1
3
, S
1
3
∪S
2
3
= S
1
4
и т.д. Если (0, 2) интервал чисел от 0 до 2, а (1, 3) — интервал от 1 до 3, то
(0, 2) ∪ (1, 3) = (0, 3).
2
Обратите внимание на то, что порядок перечисления элементов не имеет знач ения!
2 ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
Среди всевозможных множеств, изучаемых в математике, есть одно особое. Оно называется
пустым и не содержит ни одного элемента. Пустое множество можно описывать разными спосо-
бами. Например, множество
{ x ∈ N | n2 + 1 = 0 }
(то есть множество натуральных чисел, квадрат которых равен −1) является пустым. Пустое
множество обозначается через ∅.
Пусть E и E ′ — множества. Множество E ′ называется подмножеством множества E, если
любой элемент из E ′ является элементом множества E. В этом случае используются обозначения
E ′ ⊂ E или E ⊃ E ′ .
Из определения следует что любое множество является своим подмножеством, а также пустое
множество является подмножеством любого множества, то есть
E ⊂ E, ∅ ⊂ E.
Говорят также, что E содержит E ′ в качестве подмножества, или E ′ содержится в E. Имеет
место простой и очень важный факт.
Предложение 1. Если E ⊂ E ′ и E ′ ⊂ E, то E = E ′ .
Замечание 1. Если множество E ′ является подмножеством множества E, то его называют соб-
ственным подмножеством. Иногда (особенно в старой литературе) символы «⊂» и «⊃» исполь-
зуют для обозначения собственных подмножеств, а когда хотят подчеркнуть, что подмножество
может совпадать со всем множеством, пользуются обозначениями «⊆» и «⊇».
Множество подмножеств. Пусть E — некоторое множество. Тогда можно рассмотреть мно-
жество, элементами которого являются всевозможные подмножества множества E. Оно обозна-
чается через 2E . Например, для множества S, заданного равенством (1), множество 2S состоит
из2
S00 = ∅,
S11 = {♠}, S12 = {♣}, S13 = {♦}, S14 = {♥},
S21 = {♠, ♣}, S22 = {♠, ♦}, S23 = {♠, ♥}, S24 = {♣, ♦}, S25 = {♣, ♥}, S26 = {♦, ♥},
S31 = {♠, ♣, ♦}, S32 = {♠, ♣, ♥}, S33 = {♠, ♦, ♥}, S34 = {♣, ♦, ♥},
S41 = {♠, ♣, ♦, ♥}.
Вообще, если множество E содержит n элементов, то множество 2E содержит 2n элементов.
Операции над множествами. К важнейшим операциям, которые применяются к множествам,
относятся:
Объединение: Пусть A и B — множества. Их объединением называется множество, содер-
жащее все элементы, принадлежащие либо множеству A, либо B, либо им обоим. Объедине-
ние обозначается через A ∪ B. Если есть произвольный набор множеств Aα , где буква α —
элемент некоторого множества индексов I, то аналогичным образом можно определить
объединение ∪α∈I Aα . Например, если Sij — введённые выше множества мастей, то
S11 ∪ S12 = S21 , S21 ∪ S22 = S31 , S31 ∪ S32 = S41
и т.д. Если (0, 2) интервал чисел от 0 до 2, а (1, 3) — интервал от 1 до 3, то
(0, 2) ∪ (1, 3) = (0, 3).
2Обратите внимание на то, что порядок перечисления элементов не имеет значения!
