ВУЗ:
Рубрика:
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 3
Пересечение: Пересечением множеств A и B называется множество, которое обозначается
через A ∩ B и содержит элементы, одновременно принадлежащие и множеству A, и мно-
жеству B. Как и выше, можно определить и пересечение ∩
α∈I
A
α
произвольного набора
множеств A
α
. Например,
S
1
3
∩ S
2
3
= S
2
1
, S
1
2
∩ S
3
2
= S
1
1
, S
1
2
∩ S
6
2
= ∅
и
(0, 2) ∩ (1, 3) = (1, 2).
Если пересечение двух множеств равно пустому множеству, то их называют непересекаю-
щимися.
Разность: Теоретико-множественная разность между множеством A и множеством B со-
стоит из тех элементов первого множества, которые не принадлежат второму, и обознача-
ется через A \ B. Например,
S
1
2
\ S
2
2
= S
2
1
, S
2
2
\ S
1
2
= S
4
1
,
а
(0, 2) \ (1, 3) = (0, 1], (1, 3) \ (0, 2) = [2, 3).
Ещё две важных операции определяются через предыдущие.
Дополнение: Если A и B — и A ⊃ B, то разность A\B называется дополнением множества B
в A и обозначается через B.
Симметрическая разность: Симметрической разностью множеств A и B называется мно-
жество
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).
Предложение 2 (свойства теоретико-множественных операций). Пусть A, B и C — множе-
ства, и будем считать, что все они являются подмножествами некоторого множества U. Тогда
справедливы равенства:
A ∪ B = B ∪ A, (2)
A ∪ (B ∪ A) = (A ∪ B) ∪ A, (3)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C), (4)
A ∪ ∅ = A, (5)
A ∪ A = U, (6)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, (7)
A ∩ B = B ∩ A, (8)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C), (9)
A ∩ U = A, (10)
A ∩ A = ∅, (11)
A ∪ U = U, (12)
A ∩ ∅ = ∅, (13)
а также
A ∪ B = A ∩ B, (14)
A ∩ B = A ∪ B (15)
и
(A) = A. (16)
ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 3
Пересечение: Пересечением множеств A и B называется множество, которое обозначается
через A ∩ B и содержит элементы, одновременно принадлежащие и множеству A, и мно-
жеству B. Как и выше, можно определить и пересечение ∩α∈I Aα произвольного набора
множеств Aα . Например,
S31 ∩ S32 = S12 , S21 ∩ S23 = S11 , S21 ∩ S26 = ∅
и
(0, 2) ∩ (1, 3) = (1, 2).
Если пересечение двух множеств равно пустому множеству, то их называют непересекаю-
щимися.
Разность: Теоретико-множественная разность между множеством A и множеством B со-
стоит из тех элементов первого множества, которые не принадлежат второму, и обознача-
ется через A \ B. Например,
S21 \ S22 = S12 , S22 \ S21 = S14 ,
а
(0, 2) \ (1, 3) = (0, 1], (1, 3) \ (0, 2) = [2, 3).
Ещё две важных операции определяются через предыдущие.
Дополнение: Если A и B — и A ⊃ B, то разность A\B называется дополнением множества B
в A и обозначается через B.
Симметрическая разность: Симметрической разностью множеств A и B называется мно-
жество
A∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).
Предложение 2 (свойства теоретико-множественных операций). Пусть A, B и C — множе-
ства, и будем считать, что все они являются подмножествами некоторого множества U. Тогда
справедливы равенства:
A ∪ B = B ∪ A, (2)
A ∪ (B ∪ A) = (A ∪ B) ∪ A, (3)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C), (4)
A ∪ ∅ = A, (5)
A ∪ A = U, (6)
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C, (7)
A ∩ B = B ∩ A, (8)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), (9)
A ∩ U = A, (10)
A ∩ A = ∅, (11)
A ∪ U = U, (12)
A ∩ ∅ = ∅, (13)
а также
A ∪ B = A ∩ B, (14)
A∩B = A∪B (15)
и
(A) = A. (16)
