Теория пределов и непрерывность. - 1 стр.

                       ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ




  1. Числовые последовательности
  Определение 1. Отображение a : N → R множества натуральных, принимающее свои зна-
чения в множестве действительных чисел, называется числовой последовательностью. Обычно
числовые последовательности записывают в виде a1 , a2 , . . . , an , . . . , и an называется общим членом
последовательности.
  Пример 1. Вот несколько примеров, показывающих, каким образом можно задавать последо-
вательности.
   1) Общий член можно задать явной формулой, например: an = 2n (последовательность всех
      чётных чисел положительных чисел), an = 2n − 1 (нечётные числа) и т.п.
   2) Другой способ определения — это описание очередного члена через предыдущие (такой
      способ называется рекуррентным). Например, определение арифметической прогрессии
      является рекуррентным: a1 = a, an+1 = an + d. Аналогично определяется геометрическая
      прогрессия: b1 = b, bn+1 = qbn . Вот более сложный пример: a1 = 1, a2 = 1, an+2 = an + an+1 .
      Полученная таким образом последовательность называется последовательностью (или ря-
      дом) Фибоначчи, а её члены — числами Фибоначчи.
   3) Иногда описание последовательности, будучи вполне строгим, в принципе не позволяет
      получить формулу для общего члена. Такова например последовательность цифр в деся-
      тичном представлении числа π или последовательность всех простых чисел.
  Определение 2. Пусть a1 , a2 , . . . , an , . . . — последовательность.
   1) Число A называется её пределом (A = lim an )1, если для любого числа ε > 0 найдётся
                                                   n→∞
      такой номер N = N (ε), что для любого натурального числа n > N выполняется неравен-
      ство |an − A| < ε.
   2) Говорят, что последовательность стремится к бесконечности ( lim an = ∞), если для
                                                                              n→∞
      любого числа M найдётся такой номер N = N (M ), что для любого натурального числа n >
      N выполняется неравенство |an | > M .
   3) Последовательность стремится к плюс бесконечности ( lim an = +∞), если для любого
                                                                     n→∞
      числа M найдётся такой номер N = N (M ), что для любого натурального числа n > N
      выполняется неравенство an > M .
   4) Последовательность стремится к минус бесконечности ( lim an = −∞), если для любого
                                                                      n→∞
      числа M найдётся такой номер N = N (M ), что для любого натурального числа n > N
      выполняется неравенство an < M .
  В последних трёх случаях последовательность называется бесконечно большой величиной. Если
же имеет место равенство lim an = 0, то последовательность называется бесконечно малой.
                            n→∞
  Свойства бесконечно больших и бесконечно малых последовательностей, а также свойства пре-
делов последовательностей аналогичны соответствующим свойствам функций (см. ниже §§ 4, 5
и 6).
                                                                         2
  Пример 2. Предел последовательность с общим членом an = 2n  −1
                                                           n2 +1
                                                                 равен 2. Это доказывается
следующим образом. Рассмотрим произвольное число ε > 0. Исходя из определения нам нужно
  1Говорят также, что последовательность сходится (или стремится) к A.
                                                    1