ВУЗ:
Рубрика:
2 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
найти такой N = N(ε), начиная с которого для любых n будет выполняться неравенство
2n
2
− 1
n
2
+ 1
− 1
< ε, (1)
или
− ε <
3
n
2
< ε. (2)
Поскольку n — натуральное (а значит, положительное) число, левая часть неравенства (2) вы-
полняется всегда, а из правой следует, что
n >
r
3
ε
.
Значит, если положить
N(ε) =
"
r
3
ε
#
+ 1,
то при всех n > N(ε) неравенство (1) выполнится.
Квадратные скобки в последней формуле обозначают целую часть.
Определение 3. Целой частью вещественного числа r ∈ R называется наибольшее целое, не
превосходящее это число:
[r] = max{l ∈ Z | l 6 r}.
Пример 3. Рассмотрим последовательности
a
n
= n
2
, b
n
= −n
2
, c
n
= (−1)
n
n
2
.
Тогда
lim
n→∞
a
n
= +∞, lim
n→∞
b
n
= −∞, lim
n→∞
c
n
= ∞,
т.е. все эти последовательности определяют бесконечно большие величины. Наоборот, последова-
тельности
a
n
=
1
n
2
, b
n
= −
1
n
2
, c
n
=
(−1)
n
n
2
являются бесконечно малыми.
Пример 4. Последовательность
−1, 1, −1, 1, . . . , (−1)
n
, . . .
не имеет предела. Чтобы установить этот факт, нужно доказать следующее утверждение:
∀a ∈ R ∃ε > 0 ∀N ∈ N ∃n > N : |a
n
− a| > ε. (3)
Замечание 1. Доказательство утверждения (3) обычно бывает кропотливым, а иногда и труд-
ным. Более простое доказательство основывается на следующем свойстве пределов.
Пусть {a
n
} — последовательность и ϕ : N → N — возрастающее отображение, т.е. ϕ(n) <
ϕ(n + 1). Тогда последовательность b
n
= a
ϕ(n)
называется подпоследовательностью последо-
вательности {a
n
}.
Например, если a
n
= (−1)
n
n
2
и ϕ(n) = 2n, то
b
n
= a
2n
= (−1)
2n
(2n
2
) = 4n
2
— подпоследовательность последовательности {a
n
}.
Предложение 1. Путь {a
n
} — последовательность и lim
n→∞
a
n
= a. Тогда у любой её подпосле-
довательности b
n
также су ществует предел, причём lim
n→∞
b
n
= a.
2 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
найти такой N = N (ε), начиная с которого для любых n будет выполняться неравенство
2n2 − 1
− 1 < ε, (1)
n2 + 1
или
3
−ε< < ε. (2)
n2
Поскольку n — натуральное (а значит, положительное) число, левая часть неравенства (2) вы-
полняется всегда, а из правой следует, что
r
3
n> .
ε
Значит, если положить "r #
3
N (ε) = + 1,
ε
то при всех n > N (ε) неравенство (1) выполнится.
Квадратные скобки в последней формуле обозначают целую часть.
Определение 3. Целой частью вещественного числа r ∈ R называется наибольшее целое, не
превосходящее это число:
[r] = max{l ∈ Z | l 6 r}.
Пример 3. Рассмотрим последовательности
an = n2 , bn = −n2 , cn = (−1)n n2 .
Тогда
lim an = +∞, lim bn = −∞, lim cn = ∞,
n→∞ n→∞ n→∞
т.е. все эти последовательности определяют бесконечно большие величины. Наоборот, последова-
тельности
1 1 (−1)n
an = 2 , bn = − 2 , cn =
n n n2
являются бесконечно малыми.
Пример 4. Последовательность
−1, 1, −1, 1, . . . , (−1)n , . . .
не имеет предела. Чтобы установить этот факт, нужно доказать следующее утверждение:
∀a ∈ R ∃ε > 0 ∀N ∈ N ∃n > N : |an − a| > ε. (3)
Замечание 1. Доказательство утверждения (3) обычно бывает кропотливым, а иногда и труд-
ным. Более простое доказательство основывается на следующем свойстве пределов.
Пусть {an } — последовательность и ϕ : N → N — возрастающее отображение, т.е. ϕ(n) <
ϕ(n + 1). Тогда последовательность bn = aϕ(n) называется подпоследовательностью последо-
вательности {an }.
Например, если an = (−1)n n2 и ϕ(n) = 2n, то
bn = a2n = (−1)2n (2n2 ) = 4n2
— подпоследовательность последовательности {an }.
Предложение 1. Путь {an } — последовательность и lim an = a. Тогда у любой её подпосле-
n→∞
довательности bn также существует предел, причём lim bn = a.
n→∞
