Теория пределов и непрерывность. - 5 стр.

                               ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ                                        5

  Определение 10. Если lim f (x) = 0 ( lim f (x) = 0 или               lim f (x) = 0), то функция f (x)
                             x→a               x→+∞                    x→−∞
называется бесконечно малой в точке a (соответственно, в плюс или минус бесконечности).
  Лемма 1 (первая лемма о бесконечно малых). Сумма любого конечного числа бесконечно ма-
лых является бесконечно малой величиной.
  Лемма 2 (вторая лемма о бесконечно малых). Произведение ограниченной функции на беско-
нечно малую является бесконечно малой.


  5. Бесконечно большие величины
  Определение 11. Функция y = f (x) называется бесконечно большой в точке a, если она опре-
делена во всех точках некоторого интервала (b, c) ∋ a, кроме, возможно, самой точки a, и для
любого числа M найдётся такое число δ > 0, что
                                               |f (x)| > M                                          (5)
для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < δ. В этом случае пишут lim f (x) = ∞.
                                                                                       x→a
  Если неравенство (5) заменить на f (x) > M , то пишут lim f (x) = +∞, если же его заменить
                                                                 x→a
на f (x) < M , то этот факт записывается в виде lim f (x) = −∞.
                                                      x→a

  Аналогичным образом определяются бесконечно большие функции в плюс и минус бесконеч-
ности, а также функции, бесконечные справа или слева в точке a.
   Предложение 2 (связь между бесконечно большими и бесконечно малыми). Если функция y =
f (x) является бесконечно большой в точке a (в плюс бесконечности, в минус бесконечности), то
           1
функция f (x) является бесконечно малой, и наоборот.
  Предложение 3 (свойства бесконечно больших величин). Бесконечно большие величины об-
ладают следующими свойствами:
   1) если lim f (x) = ∞ и lim g(x) = A < ∞, то lim (f (x) + g(x)) = ∞;
            x→a             x→a                       x→a
   2) если lim f (x) = +∞ и lim g(x) = +∞, то lim (f (x) + g(x)) = +∞;
            x→a               x→a                     x→a
   3) если lim f (x) = ∞ и lim g(x) = A 6= 0, то lim (f (x) · g(x)) = ∞;
            x→a             x→a                       x→a
                                                                  (x)
   4) если lim f (x) = A 6= 0, lim g(x) = 0 и g(x) 6= 0, то lim fg(x) = ∞;
            x→a               x→a                            x→a
                                                  (x)
   5) если lim f (x) = A и lim g(x) = ∞, то lim fg(x) = 0.
            x→a             x→a                x→a


  6. Основные теоремы о пределах
  Теорема 1 (необходимое и достаточное условие существования предела). Функция y = f (x)
имеет конечный предел в точке a, тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 найдётся
такое δ > 0, что для всех x и x′ , удовлетворяющих неравенствам
                                   0 < |x − a| < δ,    0 < |x′ − a| < δ,
выполнено неравенство |f (x) − f (x′ )| < ε.
  Аналогичные условия можно сформулировать для существования конечного предела в плюс и
минус бесконечности.
  Предложение 4. Если функция имеет предел в точке a и a1 , a2 , . . . , an , . . . — такая последо-
вательность, что lim an = a, то
                  n→∞
                                         lim f (x) = lim f (an ).
                                         x→a           n→∞

  Теорема 2 (теорема о двух милиционерах). Пусть заданы три функции и известно, что: