ВУЗ:
Рубрика:
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 7
7. Неопределённости и эквивалентность
Определение 12. Различают следующие типы неопределённостей:
1) неопределённостью типа
0
0
в точке a называется отношение вида
f(x)
g(x)
, где lim
x→a
f(x) =
lim
x→a
g(x) = 0;
2) неопределённостью типа
∞
∞
в точке a называется отношение вида
f(x)
g(x)
, где lim
x→a
f(x) =
lim
x→a
g(x) = ∞;
3) неопределённостью типа 0·∞ в точке a называется произведение вида f (x)g(x), где lim
x→a
f(x) =
0, а lim
x→a
g(x) = ∞;
4) неопределённостью типа ∞−∞ в точке a называется разность вида f(x)−g(x), где lim
x→a
f(x) =
lim
x→a
g(x) = +∞.
Вычисление пределов выражений
f(x)
g(x)
, f (x)g(x) и f (x) − g(x) в указанных выше случаях называ-
ется раскрытием неопределённости.
Аналогичным образом определяются неопределённости в плюс бесконечности и минус беско-
нечности.
Пример 7. Отношение
sin x
x
является неопределённостью типа
0
0
в точке 0. Она раскрывается
следующим образом
lim
x→0
sin x
x
= 1. (11)
Это — так называемый первый замечательный предел.
Пример 8. Отношение
a
x
x
α
, a > 1, α > 0, является неопределённостью типа
∞
∞
в плюс беско-
нечности. Имеет место равенство
lim
x→+∞
a
x
x
α
= +∞. (12)
Поэтому говорят, что показательная функция растёт быстрее в бесконечности, чем любая сте-
пенная.
Пример 9. Отношение
log
a
x
x
α
, a > 1, α > 0, является неопределённостью типа
∞
∞
в плюс
бесконечности. Имеет место равенство
lim
x→+∞
log
a
x
x
α
= 0. (13)
Поэтому говорят, что логарифмическая функция растёт медленнее в бесконечности, чем любая
степенная.
Замечание 3. Если рассматривать выражения вида f (x)
g(x)
, то возникают также неопреде-
лённости типа 1
∞
, 0
0
и ∞
0
. Однако они сводятся к уже известным преобразованием
f(x)
g(x)
= e
g(x) ln f (x)
. (14)
Определение 13. Две бесконечно малые в точке a (в плюс бесконечности, в минус бесконеч-
ности) величины f (x) и g(x) называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1.
Эквивалентность обозначается через
f(x) ∼
a
g(x). (15)
Если понятно, в какой точке рассматривается эквивалентность, то пишут просто f (x) ∼ g(x).
Пример 10. Следующие функции эквивалентны в нуле:
sin x ∼ x, (16)
1 − cos x ∼
x
2
2
, (17)
tg x ∼ x, (18)
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 7
7. Неопределённости и эквивалентность
Определение 12. Различают следующие типы неопределённостей:
f (x)
1) неопределённостью типа 00 в точке a называется отношение вида
g(x) , где lim f (x) =
x→a
lim g(x) = 0;
x→a
∞ f (x)
2) неопределённостью типа ∞ в точке a называется отношение вида g(x) , где lim f (x) =
x→a
lim g(x) = ∞;
x→a
3) неопределённостью типа 0·∞ в точке a называется произведение вида f (x)g(x), где lim f (x) =
x→a
0, а lim g(x) = ∞;
x→a
4) неопределённостью типа ∞−∞ в точке a называется разность вида f (x)−g(x), где lim f (x) =
x→a
lim g(x) = +∞.
x→a
(x)
Вычисление пределов выражений fg(x) , f (x)g(x) и f (x) − g(x) в указанных выше случаях называ-
ется раскрытием неопределённости.
Аналогичным образом определяются неопределённости в плюс бесконечности и минус беско-
нечности.
Пример 7. Отношение sinx x является неопределённостью типа 00 в точке 0. Она раскрывается
следующим образом
lim sinx x = 1. (11)
x→0
Это — так называемый первый замечательный предел.
x
Пример 8. Отношение xaα , a > 1, α > 0, является неопределённостью типа
∞
∞ в плюс беско-
нечности. Имеет место равенство
x
lim xaα = +∞. (12)
x→+∞
Поэтому говорят, что показательная функция растёт быстрее в бесконечности, чем любая сте-
пенная.
Пример 9. Отношение logxαa x , a > 1, α > 0, является неопределённостью типа ∞
∞ в плюс
бесконечности. Имеет место равенство
lim logαa x = 0. (13)
x→+∞ x
Поэтому говорят, что логарифмическая функция растёт медленнее в бесконечности, чем любая
степенная.
Замечание 3. Если рассматривать выражения вида f (x)g(x) , то возникают также неопреде-
лённости типа 1∞ , 00 и ∞0 . Однако они сводятся к уже известным преобразованием
f (x)g(x) = eg(x) ln f (x) . (14)
Определение 13. Две бесконечно малые в точке a (в плюс бесконечности, в минус бесконеч-
ности) величины f (x) и g(x) называются эквивалентными, если предел их отношения равен 1.
Эквивалентность обозначается через
f (x) ∼a g(x). (15)
Если понятно, в какой точке рассматривается эквивалентность, то пишут просто f (x) ∼ g(x).
Пример 10. Следующие функции эквивалентны в нуле:
sin x ∼ x, (16)
x2
1 − cos x ∼ , (17)
2
tg x ∼ x, (18)
