Теория пределов и непрерывность. - 9 стр.

                                   ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ                             9

   3)   y   = ax , a > 0, на (−∞, +∞);
   4)   y   = loga x, a > 0, a 6= 1, на (0, +∞);
   5)   y   = xµ на [0, +∞) при µ > 0 и на (0, +∞) при µ < 0;
   6)   y   = sin x и y = cos x на (−∞, +∞);
   7)   y   = tg x и y = sec x всюду, кроме x = (2k + 1) π2 , k ∈ Z;
   8)   y   = ctg x и y = csc x всюду, кроме x = kπ, k ∈ Z;
   9)   y   = arcsin x и y = arccos x на [−1, 1];
  10)   y   = arctg x и y = arcctg x на (−∞, +∞);


  9. Классификация точек разрыва
  Определение 16. Если функция y = f (x) определена в некоторой точке a и существует пре-
дел lim f (x) 6= f (a) (или lim f (x)), то говорят, что функция терпит в точке a разрыв первого
    x→a+                        x→a−
рода. Если же предела не существует или он равен бесконечности, то это — разрыв второго рода.


  10. Функции, непрерывные на отрезке
  Определение 17. Функция y = f (x), определённая на отрезке [a, b], называется непрерывной
на этом отрезке, если она непрерывна справа в точке a, непрерывна слева в точке b и непрерывна
в любой внутренней точке этого отрезка.
  Теорема 7 (первая теорема Больцано–Коши). Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрез-
ке [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, то есть
                                                f (a) · f (b) < 0.
Тогда между a и b найдётся точка c, в которой эта функция обращается в нуль:
                                            f (c) = 0,     a < c < b.
  Теорема 8 (вторая теорема Больцано–Коши). Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрез-
ке [a, b] и на концах этого отрезка принимает неравные значения:
                                       f (a) = A,   f (b) = B,       A 6= B.
Тогда, каково бы ни было число C, лежащее между A и B, найдётся такая точка c ∈ [a, b], что
                                                    f (c) = C.
  Следствие 4. Если функция непрерывна на отрезке, то множество её значений также запол-
няет некоторый отрезок.
   Замечание 4 (метод половинного деления). Первая теорема Больцано–Коши означает, что
любое уравнение
                                             f (x) = 0
имеет хотя бы один корень отрезке [a, b], если f (x) — функция, непрерывная на [a, b] и принима-
ющая значения противоположных знаков на его концах. Если известно, что этот корень — един-
ственный5, то, воспользовавшись той же теоремой, можно приближённо вычислить этот корень
с любой, наперёд заданной точностью. Именно, предположим для определённости, что f (a) < 0,
а f (b) > 0. Пусть c = a+b
                         2 — середина отрезка. Тогда можно считать, что искомый корень x0
приблизительно равен c. При этом
                                                       b−a
                                     |x0 − c| 6 ε1 =       ,
                                                        2
т.е. ε1 — точность оценки значения корня.
  5В этом случае (a, b) называется интервалом отделимости корня.