Теория пределов и непрерывность. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
1) f(x) 6 g(x) 6 h(x) и
2) lim
x→a
f(x) = lim
x→a
h(x) = A.
Тогда существует lim
x→a
g(x) и он также равен A.
Теорема 3 (существование предела монотонной функции). Пусть функция y = f (x) возрастает
на интервале (a, b) (в частности, возможен случай b = +∞). Тогда, если эта функция ограничена
сверху, то существует конечный предел lim
x→a+
f(x). В противном случае этот предел равен +∞.
Аналогичное утверждение справедливо для убывающих функций.
Пример 6 (второй замечательный предел). Имеют место равенства
lim
x→0+
(1 + x)
1
x
= e. (6)
и
lim
x→+∞
(1 +
1
x
)
x
= e (7)
Предложение 5. Если lim
x→a
f(x) = A 6= ∞ и A > p (A < q), то для достаточно близких (но не
равных a), к a значениях x и сама функция удовлетворяет неравенству
f(x) > p (f(x) < q).
Следствие 1. Если функция y = f (x) имеет конечный положительный (отрицательный) пре-
дел в точке a, то и сама функция положительна (отрицательна) во всех достаточно близких к a
точках, кроме, возможно, самой точки a.
Следствие 2. Если функция y = f (x) имеет конечный предел в точке a, то она ограничена в
достаточно близких к a точках, то есть существуют такие числа m и M , что
m 6 f (x) 6 M
для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < δ.
Предложение 6. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) имеют конечные пределы в точке a.
Тогда из неравенства f (x) 6 g(x) следует неравенство
lim
x→a
f(x) 6 lim
x→a
g(x).
Аналогичное утверждение справедливо для противоположных неравенств.
Предложение 7. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) имеют конечные пределы в точке a.
Тогда имеют место равенства
lim
x→a
(f(x) ± g(x)) = lim
x→a
f(x) ± lim
x→a
g(x) (8)
и
lim
x→a
(f(x) · g(x)) = lim
x→a
f(x) · lim
x→a
g(x). (9)
Если при этом lim
x→a
g(x) 6= 0, то справедливо также равенство
lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
. (10)
6                               ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

     1) f (x) 6 g(x) 6 h(x) и
     2) lim f (x) = lim h(x) = A.
        x→a        x→a

Тогда существует lim g(x) и он также равен A.
                    x→a

  Теорема 3 (существование предела монотонной функции). Пусть функция y = f (x) возрастает
на интервале (a, b) (в частности, возможен случай b = +∞). Тогда, если эта функция ограничена
сверху, то существует конечный предел lim f (x). В противном случае этот предел равен +∞.
                                               x→a+

    Аналогичное утверждение справедливо для убывающих функций.

    Пример 6 (второй замечательный предел). Имеют место равенства
                                                              1
                                               lim (1 + x) x = e.                         (6)
                                              x→0+

и
                                                lim (1 + x1 )x = e                        (7)
                                              x→+∞

    Предложение 5. Если lim f (x) = A 6= ∞ и A > p (A < q), то для достаточно близких (но не
                             x→a
равных a), к a значениях x и сама функция удовлетворяет неравенству

                                            f (x) > p (f (x) < q).

  Следствие 1. Если функция y = f (x) имеет конечный положительный (отрицательный) пре-
дел в точке a, то и сама функция положительна (отрицательна) во всех достаточно близких к a
точках, кроме, возможно, самой точки a.

  Следствие 2. Если функция y = f (x) имеет конечный предел в точке a, то она ограничена в
достаточно близких к a точках, то есть существуют такие числа m и M , что

                                                m 6 f (x) 6 M

для всех x, удовлетворяющих неравенству 0 < |x − a| < δ.

  Предложение 6. Пусть функции y = f (x) и y = g(x) имеют конечные пределы в точке a.
Тогда из неравенства f (x) 6 g(x) следует неравенство

                                              lim f (x) 6 lim g(x).
                                             x→a            x→a

Аналогичное утверждение справедливо для противоположных неравенств.

  Предложение 7. Пусть функции y = f (x) и y = g(x) имеют конечные пределы в точке a.
Тогда имеют место равенства

                                    lim (f (x) ± g(x)) = lim f (x) ± lim g(x)             (8)
                                x→a                         x→a              x→a

и
                                    lim (f (x) · g(x)) = lim f (x) · lim g(x).            (9)
                                    x→a                     x→a             x→a

Если при этом lim g(x) 6= 0, то справедливо также равенство
                 x→a

                                                            lim f (x)
                                                    (x)
                                              lim fg(x) =   x→a
                                                                        .                (10)
                                             x→a            lim g(x)
                                                            x→a

Страницы