Теория пределов и непрерывность. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

10 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
Возможны три случая:
(1) f(c) = 0, (2) f (c) < 0, (2) f (c) > 0.
В первом из них c — точное значение корня, т.е. задача решена. Во втором случае, в силу тео-
ремы 7, корень лежит в интервале (c, b), а в третьем — в интервале (a, c). Значит, мы можем
повторить процедуру и вычислить корень с точностью ε
2
=
ε
1
2
. Таким образом, за n шагов мы
либо узнаем корень точно, либо вычислим его с точностью ε
n
=
b−a
2
n
. Значит, что бы вычислить
приближённое значение корня с заданной точностью ε, достаточно проделать
n =
log
2
b − a
ε
+ 1
шагов, где, как и раньше, квадратные скобки обозначают целую часть числа.
Теорема 9 (существование обратной функции). Пусть функция y = f(x) непрерывна и стро-
го возрастает (убывает) на некотором отрезке. Тогда на соответствующем отрезке её значений
существует однозначная обратная к ней функция x = g(y), которая также непрерывна является
строго возрастающей (убывающей).
Теорема 10 (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрез-
ке [a, b]. Тогда её значения на этом отрезке ограничены сверху и снизу, то есть такие числа m
и M, что
m 6 f (x) 6 M
для любой точки x ∈ [a, b].
Теорема 11 (вторая теорема Вейерштрасса). Любая функция, непрерывная на отрезке [a, b],
достигает своего максимального и минимального значений.
10                             ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

     Возможны три случая:
                            (1) f (c) = 0,   (2) f (c) < 0,   (2) f (c) > 0.
В первом из них c — точное значение корня, т.е. задача решена. Во втором случае, в силу тео-
ремы 7, корень лежит в интервале (c, b), а в третьем — в интервале (a, c). Значит, мы можем
повторить процедуру и вычислить корень с точностью ε2 = ε21 . Таким образом, за n шагов мы
либо узнаем корень точно, либо вычислим его с точностью εn = b−a
                                                               2n . Значит, что бы вычислить
приближённое значение корня с заданной точностью ε, достаточно проделать
                                                  
                                              b−a
                                     n = log2        +1
                                                ε
шагов, где, как и раньше, квадратные скобки обозначают целую часть числа.
  Теорема 9 (существование обратной функции). Пусть функция y = f (x) непрерывна и стро-
го возрастает (убывает) на некотором отрезке. Тогда на соответствующем отрезке её значений
существует однозначная обратная к ней функция x = g(y), которая также непрерывна является
строго возрастающей (убывающей).
  Теорема 10 (первая теорема Вейерштрасса). Пусть функция y = f (x) непрерывна на отрез-
ке [a, b]. Тогда её значения на этом отрезке ограничены сверху и снизу, то есть такие числа m
и M , что
                                         m 6 f (x) 6 M
для любой точки x ∈ [a, b].
  Теорема 11 (вторая теорема Вейерштрасса). Любая функция, непрерывная на отрезке [a, b],
достигает своего максимального и минимального значений.

Страницы