Теория пределов и непрерывность. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

8 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ
arcsin x ∼ x, (19)
arctg x ∼ x, (20)
e
x
− 1 ∼ x, (21)
a
x
− 1 ∼ x ln a, (22)
ln(1 + x) ∼ x, (23)
log
a
(1 + x) ∼
x
ln a
, (24)
(1 + x)
α
− 1 ∼ αx. (25)
Определение 14. Говорят, что функция y = f(x) имеет порядок малости k, k > 0, если имеет
место эквивалентность
f(x) ∼
a
α(x − a)
k
, α 6= 0. (26)
В этом случае пишут
f(x) = O((x − a)
k
). (27)
Если lim
x→a
f(x)
(x−a)
k
= 0, то пишут
f(x) = o((x − a)
k
) (28)
и говорят, что порядок её малости меньше k.
8. Непрерывность
Определение 15. Функция y = f (x), определённая в интервале (b, c), называется непрерывной
в точке a ∈ (b, c), если
lim
x→a
f(x) = f (a). (29)
Функция называется непрерывной справа (слева), если lim
x→a+
f(x) = f (a) ( lim
x→a−
f(x) = f (a)). Если
условие (29) не выполняется, то говорят, что функция имеет разрыв в точке a.
Предложение 8. Функция y = f(x) непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда непре-
рывна в этой точке и справа, и слева.
Предложение 9. Пусть ∆x = x − a и ∆y = f(x) − f(a). Функция y = f (x) непрерывна в
точке a тогда и только тогда, когда lim
∆x→0
∆y = 0.
Теорема 4 (непрерывность монотонных функций). Пусть функция y = f(x) определена и
монотонна в интервале (b, c). Тогда она непрерывна, если множество её значений содержится в
некотором интервале и заполняет его сплошь.
Теорема 5 (непрерывность сложной функции). Пусть функция y = f (x) определена в интер-
вале (b, c) и непрерывна в некоторой точке a ∈ (b, c). Тогда, если функция z = ϕ(y) определена на
некотором интервале, содержащем точку a
′
= f (a) и непрерывна в точке a
′
, то функция ϕ(f (y))
также непрерывна в точке a.
Теорема 6 (арифметические операции над непрерывными функциями). Если функции y =
f(x) и y = g(x) определены в общем интервале и непрерывны в некоторой точке a этого интервала,
то в этой же точке непрерывны и функции
f(x) ± g(x), f(x) · g(x),
f(x)
g(x)
(последнее справедливо, если g(a) 6= 0).
Следствие 3 (непрерывность элементарных функций). Следующие функции непрерывны:
1) y = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ · · · + a
n
x
n
на (−∞, +∞);
2) y =
a
0
+a
1
x+a
2
x
2
+···+a
n
x
n
b
0
+b
1
x+b
2
x
2
+···+b
n
x
n
во всех точках, где знаменатель не обращается в нуль;
8                                 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

                                             arcsin x   ∼
                                                       x,                                    (19)
                                              arctg x   ∼
                                                       x,                                    (20)
                                               ex − 1   ∼
                                                       x,                                    (21)
                                              ax − 1    ∼
                                                       x ln a,                               (22)
                                           ln(1 + x)    ∼
                                                       x,                                    (23)
                                                        x
                                        loga (1 + x) ∼      ,                                (24)
                                                       ln a
                                       (1 + x)α − 1 ∼ αx.                                    (25)
  Определение 14. Говорят, что функция y = f (x) имеет порядок малости k, k > 0, если имеет
место эквивалентность
                              f (x) ∼a α(x − a)k ,     α 6= 0.                         (26)
В этом случае пишут
                                    f (x) = O((x − a)k ).                              (27)
          f (x)
Если lim (x−a)  k = 0, то пишут
       x→a
                                      f (x) = o((x − a)k )                                   (28)
и говорят, что порядок её малости меньше k.


    8. Непрерывность
  Определение 15. Функция y = f (x), определённая в интервале (b, c), называется непрерывной
в точке a ∈ (b, c), если
                                     lim f (x) = f (a).                                  (29)
                                           x→a
Функция называется непрерывной справа (слева), если lim f (x) = f (a) ( lim f (x) = f (a)). Если
                                                            x→a+         x→a−
условие (29) не выполняется, то говорят, что функция имеет разрыв в точке a.
  Предложение 8. Функция y = f (x) непрерывна в точке a тогда и только тогда, когда непре-
рывна в этой точке и справа, и слева.
  Предложение 9. Пусть ∆x = x − a и ∆y = f (x) − f (a). Функция y = f (x) непрерывна в
точке a тогда и только тогда, когда lim ∆y = 0.
                                       ∆x→0

  Теорема 4 (непрерывность монотонных функций). Пусть функция y = f (x) определена и
монотонна в интервале (b, c). Тогда она непрерывна, если множество её значений содержится в
некотором интервале и заполняет его сплошь.
  Теорема 5 (непрерывность сложной функции). Пусть функция y = f (x) определена в интер-
вале (b, c) и непрерывна в некоторой точке a ∈ (b, c). Тогда, если функция z = ϕ(y) определена на
некотором интервале, содержащем точку a′ = f (a) и непрерывна в точке a′ , то функция ϕ(f (y))
также непрерывна в точке a.
   Теорема 6 (арифметические операции над непрерывными функциями). Если функции y =
f (x) и y = g(x) определены в общем интервале и непрерывны в некоторой точке a этого интервала,
то в этой же точке непрерывны и функции
                                                              f (x)
                                  f (x) ± g(x), f (x) · g(x),
                                                              g(x)
(последнее справедливо, если g(a) 6= 0).
    Следствие 3 (непрерывность элементарных функций). Следующие функции непрерывны:
     1) y = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn на (−∞, +∞);
                          2          n
     2) y = ab00+a1 x+a2 x +···+an x
                +b1 x+b2 x2 +···+bn xn
                                       во всех точках, где знаменатель не обращается в нуль;

Страницы