Теория пределов и непрерывность. - 4 стр.

4                                 ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ

    Пример 5 (гиперболические функции). Функции
                                   ex − e−x            ex + e−x
                                   sh x =   ,   ch x =
                                       2                   2
не входят в указанный список, но выражаются через перечисленные. Они называются, соответ-
ственно, гиперболическим синусом и гиперболическим косинусом.


    4. Пределы функций
   Определение 7. Пусть a ∈ R и функция y = f (x) определена во всех точках интервала (b, c) ∋
a, кроме, возможно, самой точки a. Тогда число A называется:
    1) пределом функции f при x, стремящемся к a, если для любого числа ε > 0 найдётся
       такое δ > 0, что для любой точки x ∈ (b, c), удовлетворяющей неравенству 0 < |x − a| < δ,
       выполняется неравенство |f (x) − A| < ε (в этом случае используется обозначение A =
       lim f (x));
        x→a
     2) пределом функции f при x, стремящемся к a справа, если для любого числа ε > 0 найдётся
        такое δ > 0, что для любой точки x ∈ (a, c), удовлетворяющей неравенству 0 < x − a < δ,
        выполняется неравенство |f (x) − A| < ε (в этом случае используется обозначение A =
         lim f (x))2;
        x→a+
     3) пределом функции f при x, стремящемся к a слева, если для любого числа ε > 0 найдётся
        такое δ > 0, что для любой точки x ∈ (b, a), удовлетворяющей неравенству 0 < a − x < δ,
        выполняется неравенство |f (x) − A| < ε (в этом случае используется обозначение A =
         lim f (x))3.
        x→a−

  Определение 8. Пусть c ∈ R и функция y = f (x) определена во всех точках бесконечно-
го интервала (b, +∞). Число A называется пределом функции f при x, стремящемся к плюс
бесконечности, если для любого числа ε > 0 найдётся такое X > 0, что выполняется неравен-
ство |f (x) − A| < ε при всех x > X (в этом случае используется обозначение A = lim f (x)).
                                                                                    x→+∞

  Аналогичным образом определяется предел при x, стремящемся к минус бесконечности (в
этом случае используется обозначение A = lim f (x)).
                                                 x→−∞

  Замечание 2. Все эти очень похожие друг на друга определения можно объединить в одно,
если ввести понятие окрестности. Именно, для точки a ∈ R её окрестностью4 является множество
                                       Uε (a) = {x ∈ R | |x − a| < ε},
а окрестностью «точки» ∞ — множество
                                       Uε (∞) = {x ∈ R | |x − a| > ε}.
Тогда все определения пределов вида lim f (x) = b, где a и b могут быть либо «настоящими»
                                     x→a
точками, либо бесконечностью, сводятся к следующему.
  Определение 9. Величина b называется пределом функции y = f (x) при стремлении x к
величине a, если для любой окрестности Uε (a) найдётся такая окрестность Uδ (b), что
                                         f (x) ∈ Uδ (b) ∀x ∈ Uε (a).
  Если ввести левые и правые окрестности, то с их помощью можно определить пределы при x →
a+ и т.п.
    2В этом случае достаточно, чтобы функция была определена на интервале (a, c).
    3В этом случае достаточно, чтобы функция была определена на интервале (b, a).
    4Такие окрестности называют проколотыми.