Теория пределов и непрерывность. - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ 3
Теперь легко доказать, что последовательность из примера 4 не имеет предела. Действительно,
рассмотрим две подпоследовательности
b
n
= a
2n−1
= −1, c
n
= a
2n
= 1.
Поскольку lim
n→∞
b
n
= 1, а lim
n→∞
b
n
= −1, последовательность {a
n
} предела иметь не может.
2. Функции
Определение 4. Пусть D ⊂ R — подмножество множества действительных чисел. Отобра-
жение f : D → R называется функцией вещественного аргумента x. При этом множество D
называется областью определения функции f , а множество
V = { y ∈ R | y = f (x) }
— областью допустимых значений. Графиком функции y = f (x) называется множество
{ (x, y) | y = f (x) } ⊂ R
2
.
Пусть y = f(x) и z = ϕ(y) – две функции и область допустимых значений функции f содер-
жится в области определения функции ϕ. Тогда функция z = ϕ(f(x)) называется суперпозицией
функций f и ϕ, или сложной функцией.
Функция x = ϕ(y) называется обратной к функции f , если ϕ(f(x)) = x и f(ϕ(y)) = y при всех
допустимых значениях x и y.
3. Некоторые классы функций
Определение 5. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей), если из x < x
′
следует, что
f(x) 6 f (x
′
) (f(x) > f(x
′
)). (4)
Возрастающие и убывающие функции называются также монотонными. Если в (4) неравенства
строгие, то функция называется строго возрастающей (строго убывающей), или строго моно-
тонной.
Определение 6. Пусть область определения функции y = f (x) такова, что вместе с каждой
точкой x в ней содержится и точка −x. Функция называется чётной, если f (−x) = f(x), и
нечётной, если f (−x) = −f (x).
Заметим, что любую функцию, область определения которой симметрична относительно точ-
ки 0, можно представить в виде суммы чётной и нечётной, полагая
f(x) =
1
2
(f(x) + f(−x)) +
1
2
(f(x) − f(−x)).
Следующие функции по традиции называются элементарными:
1) Целая рациональная функция (или полиномиальная функция, или многочлен) y = a
0
+
a
1
x + · · · + a
n
x
n
.
2) Дробная рациональная функция y =
a
0
+a
1
x+···+a
n
x
n
b
0
+b
1
x+···+b
n
x
n
.
3) Степенная функция y = x
µ
.
4) Показательная функция y = a
x
, a > 0.
5) Логарифмическая функция y = log
a
x, a > 0, a 6= 1.
6) Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x и y = csc x.
7) Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x и y =
arcctg x.
К элементарным относят также функции, получаемые из перечисленных с помощью арифме-
тических операций и суперпозиции.
                               ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ И НЕПРЕРЫВНОСТЬ                                   3

  Теперь легко доказать, что последовательность из примера 4 не имеет предела. Действительно,
рассмотрим две подпоследовательности
                                bn = a2n−1 = −1,       cn = a2n = 1.
Поскольку lim bn = 1, а lim bn = −1, последовательность {an } предела иметь не может.
           n→∞           n→∞


  2. Функции
  Определение 4. Пусть D ⊂ R — подмножество множества действительных чисел. Отобра-
жение f : D → R называется функцией вещественного аргумента x. При этом множество D
называется областью определения функции f , а множество
                                     V = { y ∈ R | y = f (x) }
— областью допустимых значений. Графиком функции y = f (x) называется множество
                                    { (x, y) | y = f (x) } ⊂ R2 .
  Пусть y = f (x) и z = ϕ(y) – две функции и область допустимых значений функции f содер-
жится в области определения функции ϕ. Тогда функция z = ϕ(f (x)) называется суперпозицией
функций f и ϕ, или сложной функцией.
  Функция x = ϕ(y) называется обратной к функции f , если ϕ(f (x)) = x и f (ϕ(y)) = y при всех
допустимых значениях x и y.


  3. Некоторые классы функций
  Определение 5. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей), если из x < x′
следует, что
                              f (x) 6 f (x′ ) (f (x) > f (x′ )).                    (4)
Возрастающие и убывающие функции называются также монотонными. Если в (4) неравенства
строгие, то функция называется строго возрастающей (строго убывающей), или строго моно-
тонной.
  Определение 6. Пусть область определения функции y = f (x) такова, что вместе с каждой
точкой x в ней содержится и точка −x. Функция называется чётной, если f (−x) = f (x), и
нечётной, если f (−x) = −f (x).
  Заметим, что любую функцию, область определения которой симметрична относительно точ-
ки 0, можно представить в виде суммы чётной и нечётной, полагая
                                     1                     1
                              f (x) = (f (x) + f (−x)) + (f (x) − f (−x)).
                                     2                     2
  Следующие функции по традиции называются элементарными:
   1) Целая рациональная функция (или полиномиальная функция, или многочлен) y = a0 +
       a1 x + · · · + an xn .
                                                                n
   2) Дробная рациональная функция y = ab00+a      1 x+···+an x
                                                 +b1 x+···+bn xn .
   3) Степенная функция y = xµ .
   4) Показательная функция y = ax , a > 0.
   5) Логарифмическая функция y = loga x, a > 0, a 6= 1.
   6) Тригонометрические функции y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x, y = sec x и y = csc x.
   7) Обратные тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x и y =
       arcctg x.
  К элементарным относят также функции, получаемые из перечисленных с помощью арифме-
тических операций и суперпозиции.

Страницы