Теория рядов - 1 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ТЕОРИЯ РЯДОВ
Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как
теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и
функциональные. М ы начнём с простейших, числовых рядов, а потом изучим два в ажнейших
примера функциональных рядов — степенные ряды и ряды Фурье.
1. Числовые ряды
Пусть
a
1
, a
2
, a
3
, . . . , a
n
, . . .
числовая последовательность. Символ вида
a
1
+ a
2
+ a
3
+ ··· + a
n
+ ··· =
∞
X
n=1
a
n
(1)
называется числовым рядом, а числа a
n
— его членами. Выражения вида
A
1
= a
1
, A
2
= a
1
+ a
2
, A
3
= a
1
+ a
2
+ a
3
, . . . ,
A
n
= a
1
+ ··· + a
n
, . . .
называются частичными суммами ряда (1).
Определение 1. Конечный или бесконечны предел
A = lim
n→∞
A
n
частичных сумм ряда (1) называется его суммой. Ряд называется сходящимся, если этот предел
конечен, и расходящимся в противном случае (т.е. если предел частичных сумм бесконечен или
не существует).
Важнейшей задачей теории рядов является исследование их сходимости.
Пример 1. Простейшим (и очень важным!) примером ряда является бесконечная геометриче-
ская прогрессия
a + aq + aq
2
+ ··· + aq
n−1
+ . . . (2)
Её частичная сумма имеет вид
s
n
=
a − aq
n
1 − q
.
При этом справедливо следующее:
1) если |q| < 1, то ряд (2) сходится и его сумма равна
a
1−q
;
2) если q > 1, то ряд расходится и его сумма равна ±∞ в зависимости от знака a;
3) в остальных случаях ряд расходится и предела частичных сумм не существует.
Простейшие свойства рядов. Ряд вида
a
m+1
+ a
m+2
+ ··· + a
m+k
+ ··· =
∞
X
n=m+1
a
n
(3)
называется остатком ряда (1) после m-го члена.
Предложение 1. Если сходится ряд (1), то сходится и любой его остаток. Обратно, если
сходится какой-либо остаток вида (3), то сходится и сам ряд.
1
                                             ТЕОРИЯ РЯДОВ


  Теория рядов является важнейшей составной частью математического анализа и находит как
теоретические, так и многочисленные практические приложения. Различают ряды числовые и
функциональные. Мы начнём с простейших, числовых рядов, а потом изучим два важнейших
примера функциональных рядов — степенные ряды и ряды Фурье.


  1. Числовые ряды
  Пусть
                                    a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . .
числовая последовательность. Символ вида
                                                                          ∞
                                                                          X
                                    a1 + a2 + a3 + · · · + an + · · · =         an        (1)
                                                                          n=1
называется числовым рядом, а числа an — его членами. Выражения вида
                             A1 = a1 ,    A2 = a1 + a2 , A3 = a1 + a2 + a3 , . . . ,
                                            An = a1 + · · · + an , . . .
называются частичными суммами ряда (1).
  Определение 1. Конечный или бесконечны предел
                                                  A = lim An
                                                        n→∞
частичных сумм ряда (1) называется его суммой. Ряд называется сходящимся, если этот предел
конечен, и расходящимся в противном случае (т.е. если предел частичных сумм бесконечен или
не существует).
  Важнейшей задачей теории рядов является исследование их сходимости.
  Пример 1. Простейшим (и очень важным!) примером ряда является бесконечная геометриче-
ская прогрессия
                                  a + aq + aq 2 + · · · + aq n−1 + . . .            (2)
Её частичная сумма имеет вид
                                                 a − aq n
                                           sn =            .
                                                   1−q
При этом справедливо следующее:
                                                                 a
   1) если |q| < 1, то ряд (2) сходится и его сумма равна 1−q      ;
   2) если q > 1, то ряд расходится и его сумма равна ±∞ в зависимости от знака a;
   3) в остальных случаях ряд расходится и предела частичных сумм не существует.

Простейшие свойства рядов. Ряд вида
                                                                           ∞
                                                                           X
                                am+1 + am+2 + · · · + am+k + · · · =                 an   (3)
                                                                          n=m+1

называется остатком ряда (1) после m-го члена.
  Предложение 1. Если сходится ряд (1), то сходится и любой его остаток. Обратно, если
сходится какой-либо остаток вида (3), то сходится и сам ряд.
                                                         1

Страницы