ВУЗ:
Рубрика:
2 ТЕОРИЯ РЯДОВ
Предложение 2. Пусть ряд (1) сходится и сумма остатка (3) есть α
m
. Тогда lim
m→∞
α
m
= 0.
Предложение 3. Пусть
P
∞
n=1
a
n
— сходящийся ряд и c — постоянная. Тогда ряд
P
∞
n=1
ca
n
также сходится и
∞
X
n=1
ca
n
= c
∞
X
n=1
a
n
.
Если
P
∞
n=1
b
n
— другой сходящийся ряд, то сходится и ряд
P
∞
n=1
(a
n
± b
n
), причём
∞
X
n=1
(a
n
± b
n
) =
∞
X
n=1
a
n
±
∞
X
n=1
b
n
.
Предложение 4 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий
член стремится к нулю.
Положительные ряды. Ряд
P
∞
n=1
a
n
называется положительным, если a
n
> 0 для всех n > 1.
Теорема 1. Положительный ряд всегда имеет сумму. Эта сумма конечна, если все частичные
суммы ряда ограничены сверху, и равна бесконечности в противном случае.
Пример 2. Сумма ряда
∞
X
n=1
1
n
s
= 1 +
1
2
s
+
1
3
s
+ ··· +
1
n
s
+ . . . (4)
конечна при s > 1 и бесконечна при s 6 1. При s = 1 ряд (4) называется гармоническим.
Теоремы сравнения. Пусть заданы два положительных ряда
(A)
∞
X
n=1
a
n
и (B)
∞
X
n=1
b
n
.
Теорема 2. Если начиная с некоторого n выполняется неравенство a
n
6 b
n
, то из сходимости
ряда (B) вытекает сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A) — расходимость ряда (B).
Теорема 3. Если существует предел
lim
n→∞
a
n
b
n
= K, 0 6 K 6 ∞,
то из сходимости ряда (B) при K < ∞ следует сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A)
при K > 0 — расходимость ряда (B). В частности, при 0 < K > ∞ оба ряда сходятся или
расходятся одновременно.
Теорема 4. Если начиная с некоторого n выполняется неравенство
a
n+1
a
n
6
b
n+1
b
n
,
то из сходимости ряда (B) вытекает сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A) — расходи-
мость ряда (B).
Теоремы сравнения позволяют устанавливать сходимость или расходимость достаточно слож-
ных рядов.
Пример 3. Рассмотрим ряд
P
∞
n=1
(n!)
2
(2n)!
. Имеем
1
(n!)
2
(2n)!
=
n!
2
n
(2n − 1)!!
<
1
2
n
,
и, значит, ряд сходится по теореме 2.
1
Символ (2n − 1)!! обозначает произведение всех нечётных чисел от единицы до 2n − 1.
2 ТЕОРИЯ РЯДОВ
Предложение 2. Пусть ряд (1) сходится и сумма остатка (3) есть αm . Тогда lim αm = 0.
m→∞
Предложение 3. Пусть n=1 an — сходящийся ряд и c — постоянная. Тогда ряд ∞
P∞ P
n=1 can
также сходится и
∞
X ∞
X
can = c an .
n=1 n=1
P∞ P∞
Если n=1 bn — другой сходящийся ряд, то сходится и ряд n=1 (an ± bn ), причём
∞
X ∞
X ∞
X
(an ± bn ) = an ± bn .
n=1 n=1 n=1
Предложение 4 (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его общий
член стремится к нулю.
Положительные ряды. Ряд ∞
P
n=1 an называется положительным, если an > 0 для всех n > 1.
Теорема 1. Положительный ряд всегда имеет сумму. Эта сумма конечна, если все частичные
суммы ряда ограничены сверху, и равна бесконечности в противном случае.
Пример 2. Сумма ряда
∞
X 1 1 1 1
s
= 1 + s + s + ··· + s + ... (4)
n 2 3 n
n=1
конечна при s > 1 и бесконечна при s 6 1. При s = 1 ряд (4) называется гармоническим.
Теоремы сравнения. Пусть заданы два положительных ряда
∞
X ∞
X
(A) an и (B) bn .
n=1 n=1
Теорема 2. Если начиная с некоторого n выполняется неравенство an 6 bn , то из сходимости
ряда (B) вытекает сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A) — расходимость ряда (B).
Теорема 3. Если существует предел
lim an = K, 0 6 K 6 ∞,
n→∞ bn
то из сходимости ряда (B) при K < ∞ следует сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A)
при K > 0 — расходимость ряда (B). В частности, при 0 < K > ∞ оба ряда сходятся или
расходятся одновременно.
Теорема 4. Если начиная с некоторого n выполняется неравенство
an+1 bn+1
6 ,
an bn
то из сходимости ряда (B) вытекает сходимость ряда (A), а из расходимости ряда (A) — расходи-
мость ряда (B).
Теоремы сравнения позволяют устанавливать сходимость или расходимость достаточно слож-
ных рядов.
(n!)2 1
Пример 3. Рассмотрим ряд ∞
P
n=1 (2n)! . Имеем
(n!)2 n! 1
= n < n,
(2n)! 2 (2n − 1)!! 2
и, значит, ряд сходится по теореме 2.
1Символ (2n − 1)!! обозначает произведение всех нечётных чисел от единицы до 2n − 1.
