ВУЗ:
Рубрика:
ТЕОРИЯ РЯДОВ 3
Пример 4. Рассмотрим ряд
∞
X
n=1
sin
x
n
, 0 < x < π .
Поскольку
lim
n→∞
sin
x
n
:
1
n
= x,
этот ряд расходится в силу теоремы 3 и примера 2.
Важнейшие признаки сходимости. К этим признакам относятся признаки Коши и Далам-
бера, а также интегральный признак сходимости. Пусть по-прежнему
(A)
∞
X
n=1
a
n
— положительный ряд.
Теорема 5 (признак Коши). Рассмотрим ряд (A) и предположим, что существует предел
C = lim
n→∞
n
√
a
n
.
Тогда при C < 1 ряд сходится, а при C > 1 — расходится.
Пример 5. Рассмотрим ряд
P
∞
n=1
1 −
1
n
n
2
. Тогда
C = lim
n→∞
n
q
1 −
1
n
n
2
= lim
n→∞
1 −
1
n
n
=
1
e
< 1.
Следовательно, этот ряд сходится.
Теорема 6 (признак Даламбера). Рассмотрим ряд (A) и предположим, что существует предел
D = lim
n→∞
a
n+1
a
n
.
Тогда при D < 1 ряд сходится, а при D > 1 — расходится.
Пример 6. Рассмотрим ряд
P
∞
n=1
n!
x
n
n
. Тогда
D = lim
n→∞
(n+1)!
x
n+1
n+1
n!
x
n
n
= lim
n→∞
x
1+
1
n
n
=
x
e
.
Следовательно, ряд сходится при x < e и расходится при x > e.
Теорема 7 (интегральный признак Коши–Маклорена). Предположим, что существует такая
функция f (x), определённая на множестве [1, +∞), что f (n) = a
n
для всех натуральных n. Тогда
ряд (A) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом
R
+∞
1
f(x) dx.
Пример 7. Рассмотрим ряд
P
∞
n=1
1
n
s
. Поскольку интеграл
R
+∞
1
dx
x
s
сходится тогда и только
тогда, когда s > 1, то и ряд сходится при тех же значениях s.
Произвольные числовые ряды. Теперь мы откажемся от условия положительности членов
ряда и рассмотрим ряды произвольного вида. Для таких рядов справедлив следующий критерий
сходимости:
Теорема 8. Ряд
P
∞
n=1
a
n
сходится тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 найдётся
такой номер N, что для всех n > N и m > 0 выполняется неравенство
|a
n+1
+ ··· + a
n+m
| < ε.
На практике, однако, этим критерием пользоваться, как правило, затруднительно.
Определение 2. Ряд
P
∞
n=1
a
n
называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
P
∞
n=1
|a
n
|.
ТЕОРИЯ РЯДОВ 3
Пример 4. Рассмотрим ряд
∞
X x
sin , 0 < x < π.
n=1
n
Поскольку
1
lim sin nx : n = x,
n→∞
этот ряд расходится в силу теоремы 3 и примера 2.
Важнейшие признаки сходимости. К этим признакам относятся признаки Коши и Далам-
бера, а также интегральный признак сходимости. Пусть по-прежнему
X∞
(A) an
n=1
— положительный ряд.
Теорема 5 (признак Коши). Рассмотрим ряд (A) и предположим, что существует предел
√
C = lim n an .
n→∞
Тогда при C < 1 ряд сходится, а при C > 1 — расходится.
1 n
2
Пример 5. Рассмотрим ряд ∞
P
n=1 1 − n . Тогда
q n2 n
1 − n1 = lim 1 − n1 = 1
n
C = lim e < 1.
n→∞ n→∞
Следовательно, этот ряд сходится.
Теорема 6 (признак Даламбера). Рассмотрим ряд (A) и предположим, что существует предел
an+1
D = lim .
n→∞ an
Тогда при D < 1 ряд сходится, а при D > 1 — расходится.
x n
Пример 6. Рассмотрим ряд ∞
P
n=1 n! n . Тогда
n+1
x
(n+1)! n+1 x
D = lim x
n = lim 1
n = xe .
n→∞ n! n
n→∞ 1+ n
Следовательно, ряд сходится при x < e и расходится при x > e.
Теорема 7 (интегральный признак Коши–Маклорена). Предположим, что существует такая
функция f (x), определённая на множестве [1, +∞), что f (n) = an для всех натуральных
R +∞ n. Тогда
ряд (A) сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом 1 f (x) dx.
P∞ 1 R +∞ dx
Пример 7. Рассмотрим ряд n=1 ns . Поскольку интеграл 1 xs сходится тогда и только
тогда, когда s > 1, то и ряд сходится при тех же значениях s.
Произвольные числовые ряды. Теперь мы откажемся от условия положительности членов
ряда и рассмотрим ряды произвольного вида. Для таких рядов справедлив следующий критерий
сходимости:
Теорема 8. Ряд ∞
P
n=1 an сходится тогда и только тогда, когда для любого числа ε > 0 найдётся
такой номер N , что для всех n > N и m > 0 выполняется неравенство
|an+1 + · · · + an+m | < ε.
На практике, однако, этим критерием пользоваться, как правило, затруднительно.
Определение 2. Ряд ∞
P P∞
n=1 an называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд n=1 |an |.
