Теория рядов - 5 стр.

                                              ТЕОРИЯ РЯДОВ                                      5

  2. Общие сведения о функциональных рядах
  Рассмотрим последовательность функций
                                       f1 (x), f2 (x), . . . , fn (x), . . .
Символ вида
                           ∞
                           X
                                 fn (x) = f1 (x) + f2 (x) + · · · + fn (x) + . . .            (5)
                           n=1
называется функциональным рядом, а функции fn (x) — его членами. При каждом конкретном
значении переменной x ряд (5) превращается в числовой, и этот ряд может сходиться или расхо-
диться. Множество X ⊂ R, при которых ряд сходится,
                                              P∞ называется областью его сходимости. На
области сходимости определена функция f (x) = n=1 fn (x) — сумма функционального ряда.
Равномерная сходимость. Вообще говоря, сумма ряда, состоящего из «хороших» (например,
непрерывных) функций, может оказаться «как угодно плохой». Это связано с тем, что в раз-
ных точках области сходимости ряд сходится к своей сумме по-разному. «Хорошие» функции
получаются, когда ряд сходится равномерно.
  Определение 4. Если ряд (5) сходится к функции f (x) в области X и для любого ε > 0 можно
найти такое N , что для любого n > N и для любого x ∈ X выполняется неравенство
                                   |f1 (x) + · · · + fn (x) − f (x)| < ε,
то ряд называется равномерно сходящимся в области X .
  Теорема 15. Для того чтобы ряд (5) сходился равномерно в области X , необходимо и достаточ-
но, чтобы для любого ε > 0 существовал такой не зависящий от x номер N , что при любом m > 1
неравенство
                                 |fn+1 (x) + · · · + fn+m (x)| < ε
выполняется для всех x ∈ X .
   Теорема 16 (признак Вейерштрасса). Если члены функционального ряда (5) удовлетворяют
в области X неравенствам
                              |fn (x)| 6 cn ,  n = 1, 2, . . . ,
    P∞
где n=1 cn — сходящийся числовой ряд, то ряд (5) сходится равномерно в X .

Свойства равномерно сходящихся рядов.
   ТеоремаP17. Пусть функции f1 (x), . . . , fn (x), . . . определены и непрерывны на отрезке X =
[a, b] и ряд ∞
             n=1 fn (x) равномерно сходится к функции f (x) на этом отрезке. Тогда f (x) также
непрерывна на X .
   Для положительных рядов верен и обратный результат.
  Теорема 18. Пусть члены ряда (5) непрерывны в области X = [a, b] и неотрицательны. Если
этот ряд имеет сумму f (x), также непрерывную на X , то ряд сходится в рассматриваемой области
равномерно.
  Теорема 19 (почленный переход к пределу). Пусть функции fn (x) определены в области X и
существуют конечные пределы lim fn (x) = cn . Предположим, то ряд сходится в рассматриваемой
                              x→a
области равномерно. Тогда
                   P∞
   1) числовой
          P∞   ряд     Pc∞n сходится;
                     n=1
   2) lim n=1 fn (x) = n=1 lim fn (x).
      x→a                      x→a