Теория рядов - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

6 ТЕОРИЯ РЯДОВ
Теорема 20 (почленное интегрирование). Если функции f
n
(x) непрерывны на отрезке X =
[a, b] и ряд (5) сходится на этом отрезке равномерно, то
Z
b
a
∞
X
n=1
f
n
(x)
dx =
∞
X
n=1
Z
b
a
f
n
(x) dx
.
Теорема 21 (почленное дифференцирование). Пусть функции f
n
(x) определены на отрез-
ке X = [a, b] и имеют на этом отрезке непрерывные производные. Тогда, если ряд (5) сходится
равномерно, а также равномерно сходится ряд
P
∞
n=1
f
′
n
(x), то
∞
X
n=1
f
n
(x)
′
=
∞
X
n=1
f
′
n
(x).
3. Степенные ряды
Степенным рядом называется функциональный ряд вида
∞
X
n=0
a
n
(x − x
0
)
n
= a
0
+ a
1
(x − x
0
) + a
2
(x − x
0
)
2
+ ··· + a
n
(x − x
0
)
n
+ . . . ,
где a
1
, . . . , a
n
, . . . (коэффициенты ряда) и x
0
— действительные числа. Без ограничения общности
можно считать, что x
0
= 0, и мы будем рассматривать степенные ряды вида
∞
X
n=0
a
n
x
n
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ ··· + a
n
x
n
+ . . . (6)
Теорема 22. Для каждого степенного ряда вида (6) существует такое R, 0 6 R 6 ∞, что
1) при |x| < R ряд сходится абсолютно;
2) при |x| > R ряд расходится.
Интервал (−R, R) называется промежутком сходимости, а R — радиусом сходимости степен-
ного ряда.
На концах промежутка сходимости степенного ряда могут возникать разные ситуации.
Пример 10. Ряд
1 +
∞
X
n=1
x
n
n!
сходится абсолютно в промежутке (−∞, +∞), т.е. R = ∞.
Пример 11. Для ряда
1 +
∞
X
n=1
x
n
R = 1, промежутком сходимости является (−1, 1), на концах промежутка ряд расходится.
Пример 12. У ряда
∞
X
n=1
(−1)
n−1
x
2n−1
2n − 1
R = 1, но он сходится и на обоих концах промежутка сходимости, однако сходимость в этих
точках неабсолютная.
Пример 13. Ряд
∞
X
n=1
(−1)
n
x
n
n
сходится в полуинтервале [−1, 1); сходимость на левом конце неабсолютная.
6                                                    ТЕОРИЯ РЯДОВ

   Теорема 20 (почленное интегрирование). Если функции fn (x) непрерывны на отрезке X =
[a, b] и ряд (5) сходится на этом отрезке равномерно, то
                               Z bX∞             ∞ Z b
                                                   X               
                                       fn (x) dx =        fn (x) dx .
                                     a   n=1                  n=1       a

  Теорема 21 (почленное дифференцирование). Пусть функции fn (x) определены на отрез-
ке X = [a, b] и имеют на этом отрезке непрерывные
                                               P∞ производные. Тогда, если ряд (5) сходится
                                                   ′
равномерно, а также равномерно сходится ряд n=1 fn (x), то
                                   X∞           ∞
                                              ′ X
                                        fn (x) =    fn′ (x).
                                               n=1                n=1



    3. Степенные ряды
    Степенным рядом называется функциональный ряд вида
            X∞
               an (x − x0 )n = a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + · · · + an (x − x0 )n + . . . ,
                n=0
где a1 , . . . , an , . . . (коэффициенты ряда) и x0 — действительные числа. Без ограничения общности
можно считать, что x0 = 0, и мы будем рассматривать степенные ряды вида
                                    X∞
                                       an xn = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn + . . .           (6)
                               n=0

    Теорема 22. Для каждого степенного ряда вида (6) существует такое R, 0 6 R 6 ∞, что
     1) при |x| < R ряд сходится абсолютно;
     2) при |x| > R ряд расходится.
  Интервал (−R, R) называется промежутком сходимости, а R — радиусом сходимости степен-
ного ряда.
  На концах промежутка сходимости степенного ряда могут возникать разные ситуации.
    Пример 10. Ряд
                                                            ∞
                                                            X xn
                                                      1+
                                                            n=1
                                                                  n!
сходится абсолютно в промежутке (−∞, +∞), т.е. R = ∞.
    Пример 11. Для ряда
                                                            ∞
                                                            X
                                                      1+          xn
                                                            n=1
R = 1, промежутком сходимости является (−1, 1), на концах промежутка ряд расходится.
    Пример 12. У ряда
                                                ∞
                                                X                 x2n−1
                                                      (−1)n−1
                                                n=1
                                                                  2n − 1
R = 1, но он сходится и на обоих концах промежутка сходимости, однако сходимость в этих
точках неабсолютная.
    Пример 13. Ряд
                                                      ∞
                                                      X           xn
                                                          (−1)n
                                                      n=1
                                                                  n
сходится в полуинтервале [−1, 1); сходимость на левом конце неабсолютная.

Страницы