ВУЗ:
Рубрика:
8 ТЕОРИЯ РЯДОВ
• и в форме Коши
r
n
(x) =
f
(n+1)
(θx)
(n + 1)!
(1 − θ)
n
x
n+1
(11)
(здесь 0 6 θ 6 1).
Ряды Тейлора некоторых элементарных функций. Имеют место следующие разложения
e
x
= 1 +
x
1!
+
x
2
2!
+
x
3
3!
+ ··· +
x
n
n!
+ . . . , (12)
sin x = x −
x
3
3!
+
x
5
5!
− ··· + (−1)
n−1
x
2n−1
(2n − 1)!
+ . . . , (13)
cos x = 1 −
x
2
2!
+
x
4
4!
− ··· + (−1)
n
x
2n
(2n)!
+ . . . , (14)
arctg x = x −
x
3
3
+
x
5
5
− ··· + (−1)
n−1
x
2n−1
2n − 1
+ . . . , (15)
arcsin x = x +
1
2
·
x
3
3
+
1 · 3
2 · 4
·
x
5
5
+ ··· +
1 · 3 · ··· · (2n − 1)
2 · 4 · ··· · 2n
x
2n+1
2n + 1
+ . . . , (16)
(1 + x)
m
= 1 + mx +
m(m − 1)
1 · 2
x
2
+ ··· +
m(m − 1) · ··· · (m − n + 1)
n!
x
n
+ . . . , (17)
ln(1 + x) = x −
x
2
2
+
x
3
3
− ··· + (−1)
n−1
x
n
n
+ . . . (18)
Эти формулы используются для приближённого вычисления значений указанных функций.
Замечание 1. Из разложения (15) получается ряд Лейбница для числа π:
π
4
= arctg(1) = 1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+ ··· + (−1)
n−1
1
2n − 1
+ . . . (19)
Замечание 2. Для всех указанных функций справедлива теорема 23. Приведём пример, когда
ряд Тейлора почти нигде не сходится к исходной функции. Для этого положим
f(x) =
(
e
−
1
x
2
, x 6= 0,
0, x = 0.
Можно показать, что эта функция имеет производные всех порядков в нуле и эти производные
равны нулю. Таким образом, ряд Тейлора функции f (x) нулевой и сходится к значению функции
только в нуле.
4. Ряды Фурье
Теория рядов Фурье, или гармонический анализ имеет дело с периодическими явлениями и
представлением их в виде суммы (суперпозиции) элементарных периодических функций (гармо-
ник ).
Напомним, что функция f (x) называется периодической, если сущ ествует такое число T 6= 0,
что для любого x выполняется равенство
f(x + T ) = f(x). (20)
Поведение периодической функции на всей прямой полностью определяется ей поведением на
любом отрезке, длина которого кратна периоду. Поэтому любу ю функцию, удовлетворя ющую
условию (20), достаточно, например, рассматривать на отрезке [−
T
2
,
T
2
].
Периодические функции возникают в школьной тригонометрии. Простейшие из них — sin x
и cos x. Период этих функций равен 2π, и, в силу сказанного выше, их достаточно рассматривать
на отрезке [−π, π].
8 ТЕОРИЯ РЯДОВ
• и в форме Коши
f (n+1) (θx)
rn (x) = (1 − θ)n xn+1 (11)
(n + 1)!
(здесь 0 6 θ 6 1).
Ряды Тейлора некоторых элементарных функций. Имеют место следующие разложения
x x2 x3 xn
ex = 1 + + + + ··· + + ..., (12)
1! 2! 3! n!
x3 x5 x2n−1
sin x = x − + − · · · + (−1)n−1 + ..., (13)
3! 5! (2n − 1)!
x2 x4 x2n
cos x = 1 − + − · · · + (−1)n + ..., (14)
2! 4! (2n)!
x3 x5 x2n−1
arctg x = x − + − · · · + (−1)n−1 + ..., (15)
3 5 2n − 1
1 x3 1 · 3 x5 1 · 3 · · · · · (2n − 1) x2n+1
arcsin x = x + · + · + ··· + + ..., (16)
2 3 2·4 5 2 · 4 · · · · · 2n 2n + 1
m(m − 1) 2 m(m − 1) · · · · · (m − n + 1) n
(1 + x)m = 1 + mx + x + ··· + x + ..., (17)
1·2 n!
x2 x3 xn
ln(1 + x) = x − + − · · · + (−1)n−1 + ... (18)
2 3 n
Эти формулы используются для приближённого вычисления значений указанных функций.
Замечание 1. Из разложения (15) получается ряд Лейбница для числа π:
π 1 1 1 1
= arctg(1) = 1 − + − + · · · + (−1)n−1 + ... (19)
4 3 5 7 2n − 1
Замечание 2. Для всех указанных функций справедлива теорема 23. Приведём пример, когда
ряд Тейлора почти нигде не сходится к исходной функции. Для этого положим
( 1
e− x2 , x 6= 0,
f (x) =
0, x = 0.
Можно показать, что эта функция имеет производные всех порядков в нуле и эти производные
равны нулю. Таким образом, ряд Тейлора функции f (x) нулевой и сходится к значению функции
только в нуле.
4. Ряды Фурье
Теория рядов Фурье, или гармонический анализ имеет дело с периодическими явлениями и
представлением их в виде суммы (суперпозиции) элементарных периодических функций (гармо-
ник ).
Напомним, что функция f (x) называется периодической, если существует такое число T 6= 0,
что для любого x выполняется равенство
f (x + T ) = f (x). (20)
Поведение периодической функции на всей прямой полностью определяется ей поведением на
любом отрезке, длина которого кратна периоду. Поэтому любую функцию, удовлетворяющую
условию (20), достаточно, например, рассматривать на отрезке [− T2 , T2 ].
Периодические функции возникают в школьной тригонометрии. Простейшие из них — sin x
и cos x. Период этих функций равен 2π, и, в силу сказанного выше, их достаточно рассматривать
на отрезке [−π, π].
