Теория рядов - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

ТЕОРИЯ РЯДОВ 7
Пример 14. Наконец, ряд
∞
X
n=1
x
n
n
2
сходится на отрезке [−1, 1], причём на обоих концах имеет место абсолютная сходимость.
Основные свойства степенных рядов. Из теорем 17–22 вытекают следующие важнейшие свой-
ства степенных рядов:
1) Если R — радиус сходимости ряда (6), то этот ряд сходится равномерно на любом отрез-
ке [−r, r], где 0 < r < R.
2) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией вну три его промежутка сходимо-
сти.
3) Если ряды
∞
X
n=0
a
n
x
n
и
∞
X
n=0
b
n
x
n
имеют одну и ту же сумму в некоторой окрестности точки x = 0, то они почленно сов-
падают, т.е. a
n
= b
n
для всех n. Иными словами, разложение функции в степенной ряд
единственно.
4) В любом промежутке [0, r], |r| < R, степенной ряд можно почленно интегрировать:
Z
r
0
∞
X
n=0
a
n
x
n
dx =
∞
X
n=0
a
n
n + 1
r
n+1
.
5) Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать:
∞
X
n=0
a
n
x
n
′
=
∞
X
n=1
na
n
x
n−1
.
6) Из последнего свойства следует, что если степенной ряд сходится к функции f (x), то эта
функция имеет производные всех порядков, а коэффициенты этого ряда имеют вид
a
0
= f(0), a
1
= f
′
(0), a
2
=
f
′′
(0)
2!
, a
3
=
f
′′′
(0)
3!
, . . . , a
n
=
f
(n)
(0)
n!
, . . .
Иначе говоря , любой степенной ряд является рядом Тейлора той функции, к которой он
сходится.
Ряды Тейлора. Итак, если функция f (x) определена в окрестности нуля и сколько угодно раз
дифференцируема в нуле, то её рядом Тейлора называется степенной ряд
f(0) +
f
′
(0)
1!
x +
f
′′
(0)
2!
x
2
+ ··· +
f
(n)
(0)
n!
x
n
+ . . . (7)
Разность
r
n
(x) = f(x) − f (0) −
f
′
(0)
1!
x −
f
′′
(0)
2!
x
2
− ··· −
f
(n)
(0)
n!
x
n
(8)
называется дополнительным членом (порядка n).
Теорема 23. Для того, чтобы ряд (7) сходился к функции f (x) в точке x, необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялось равенство
lim
n→∞
r
n
(x) = 0. (9)
Чтобы проверить выполнение условия (9) в предыдущей теореме, дополнительный член (8)
обычно представляют в одной из двух удобных форм —
• в форме Лагранжа
r
n
(x) =
f
(n+1)
(θx)
(n + 1)!
x
n+1
(10)
                                              ТЕОРИЯ РЯДОВ                                   7

  Пример 14. Наконец, ряд
                                                    ∞
                                                    X xn
                                                    n=1
                                                          n2
сходится на отрезке [−1, 1], причём на обоих концах имеет место абсолютная сходимость.

Основные свойства степенных рядов. Из теорем 17–22 вытекают следующие важнейшие свой-
ства степенных рядов:
   1) Если R — радиус сходимости ряда (6), то этот ряд сходится равномерно на любом отрез-
      ке [−r, r], где 0 < r < R.
   2) Сумма степенного ряда является непрерывной функцией внутри его промежутка сходимо-
      сти.
   3) Если ряды
                                   X∞          X∞
                                           n
                                       an x и      bn xn
                                          n=0              n=0
      имеют одну и ту же сумму в некоторой окрестности точки x = 0, то они почленно сов-
      падают, т.е. an = bn для всех n. Иными словами, разложение функции в степенной ряд
      единственно.
   4) В любом промежутке [0, r], |r| < R, степенной ряд можно почленно интегрировать:
                              Z rX  ∞              ∞
                                                  X    an n+1
                                        an xn dx =         r   .
                               0    n=0            n=0
                                                       n+1
   5) Степенной ряд внутри его промежутка сходимости можно почленно дифференцировать:
                                X∞        ′ X∞
                                         n
                                     an x    =   nan xn−1 .
                                        n=0               n=1
   6) Из последнего свойства следует, что если степенной ряд сходится к функции f (x), то эта
      функция имеет производные всех порядков, а коэффициенты этого ряда имеют вид
                                       f ′′ (0)        f ′′′ (0)                f (n) (0)
                a0 = f (0), a1 = f ′ (0), a2 =  , a3 =           , . . . , an =           ,...
                                          2!              3!                       n!
      Иначе говоря, любой степенной ряд является рядом Тейлора той функции, к которой он
      сходится.

Ряды Тейлора. Итак, если функция f (x) определена в окрестности нуля и сколько угодно раз
дифференцируема в нуле, то её рядом Тейлора называется степенной ряд
                                    f ′ (0)    f ′′ (0) 2        f (n) (0) n
                          f (0) +           x+         x + ··· +          x + ...          (7)
                                      1!          2!                n!
Разность
                                     f ′ (0)    f ′′ (0) 2        f (n) (0) n
                    rn (x) = f (x) − f (0) − x−         x − ··· −          x               (8)
                                       1!          2!                n!
называется дополнительным членом (порядка n).
  Теорема 23. Для того, чтобы ряд (7) сходился к функции f (x) в точке x, необходимо и доста-
точно, чтобы выполнялось равенство
                                                 lim rn (x) = 0.                           (9)
                                                n→∞
  Чтобы проверить выполнение условия (9) в предыдущей теореме, дополнительный член (8)
обычно представляют в одной из двух удобных форм —
    • в форме Лагранжа
                                           f (n+1) (θx) n+1
                                  rn (x) =             x                          (10)
                                             (n + 1)!

Страницы