ВУЗ:
Рубрика:
ТЕОРИЯ РЯДОВ 9
Заметим также, что если функция f(x) имеет период T , то функция f
′
(x) = f(
T x
T
′
) является
периодической с периодом T
′
. Поэтому простым преобразованием любую периодическую функ-
цию можно привести к функции с периодом 2π и рассматривать её на отрезке [−π, π], как и
простейшие периодические функции.
Начнём с общих определений.
Определение 5. Система функций
ϕ
0
, ϕ
1
, . . . , ϕ
n
, . . .
называется ортонормированной на отрезке [a, b], если выполняются равенства
Z
b
a
ϕ
n
(x)ϕ
m
(x) dx =
(
0, n 6= m,
1, n = m.
Предположим, что на отрезке [a, b] задана функция f(x) и нам удалось представить её в виде
функционального ряда
f(x) = c
0
ϕ
0
(x) + c
1
ϕ
1
(x) + ··· + c
n
ϕ
n
(x) + . . .
Тогда из определения ортонормированной системы следует, ч то коэффициенты этого ряда имеют
вид
c
n
=
Z
b
a
ϕ
n
(x)f(x) dx, n = 0, 1, . . . (21)
Определение 6. Функциональный ряд
c
0
ϕ
0
(x) + c
1
ϕ
1
(x) + ··· + c
n
ϕ
n
(x) + . . . ,
коэффициенты которого заданы равенствами (21), называется обобщённым рядом Фурье функ-
ции f(x), построенным по ортонормированной системе ϕ
0
, ϕ
1
, . . .
Классическая теория рядов Фурье имеет дело с конкретной ортонормированной системой функ-
ций на отрезке [−π, π].
Теорема 24. Система функций
1
√
2π
,
1
√
π
cos x,
1
√
π
sin x,
1
√
π
cos 2x,
1
√
π
sin 2x, . . . ,
1
√
π
cos nx,
1
√
π
sin nx, . . .
является ортонормированной на отрезке [−π, π].
Обобщённый ряд Фурье, построенный по этой системе называется просто рядом Фурье функ-
ции f(x). Таким образом, этот ряд имеет вид
a
0
+
∞
X
n=1
(a
n
cos nx + b
n
sin nx),
и его коэффициенты выражаются формулами
a
0
=
1
2π
Z
π
−π
f(x) dx, a
n
=
1
π
Z
π
−π
f(x) cos nx dx, n
n
=
1
π
Z
π
−π
f(x) sin nx dx,
где n = 1, 2, . . . Числа a
n
и b
n
называются коэффициентами Фурье функции f (x).
Основная задача теории рядов Фурье — выяснить, когда ряд Фурье сходится к порождающей
его функции.
Теорема 25. Если функция дифференцируема на отрезке [−π, π], то её ряд Фурье сходится к
значению функции в каждой точке этого отрезка.
ТЕОРИЯ РЯДОВ 9
Заметим также, что если функция f (x) имеет период T , то функция f ′ (x) = f ( TTx′ ) является
периодической с периодом T ′ . Поэтому простым преобразованием любую периодическую функ-
цию можно привести к функции с периодом 2π и рассматривать её на отрезке [−π, π], как и
простейшие периодические функции.
Начнём с общих определений.
Определение 5. Система функций
ϕ0 , ϕ1 , . . . , ϕn , . . .
называется ортонормированной на отрезке [a, b], если выполняются равенства
Z b (
0, n 6= m,
ϕn (x)ϕm (x) dx =
a 1, n = m.
Предположим, что на отрезке [a, b] задана функция f (x) и нам удалось представить её в виде
функционального ряда
f (x) = c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + · · · + cn ϕn (x) + . . .
Тогда из определения ортонормированной системы следует, что коэффициенты этого ряда имеют
вид
Z b
cn = ϕn (x)f (x) dx, n = 0, 1, . . . (21)
a
Определение 6. Функциональный ряд
c0 ϕ0 (x) + c1 ϕ1 (x) + · · · + cn ϕn (x) + . . . ,
коэффициенты которого заданы равенствами (21), называется обобщённым рядом Фурье функ-
ции f (x), построенным по ортонормированной системе ϕ0 , ϕ1 , . . .
Классическая теория рядов Фурье имеет дело с конкретной ортонормированной системой функ-
ций на отрезке [−π, π].
Теорема 24. Система функций
1 1 1 1 1 1 1
√ , √ cos x, √ sin x, √ cos 2x, √ sin 2x, . . . , √ cos nx, √ sin nx, . . .
2π π π π π π π
является ортонормированной на отрезке [−π, π].
Обобщённый ряд Фурье, построенный по этой системе называется просто рядом Фурье функ-
ции f (x). Таким образом, этот ряд имеет вид
∞
X
a0 + (an cos nx + bn sin nx),
n=1
и его коэффициенты выражаются формулами
Z π
1 1 π 1 π
Z Z
a0 = f (x) dx, an = f (x) cos nx dx, nn = f (x) sin nx dx,
2π −π π −π π −π
где n = 1, 2, . . . Числа an и bn называются коэффициентами Фурье функции f (x).
Основная задача теории рядов Фурье — выяснить, когда ряд Фурье сходится к порождающей
его функции.
Теорема 25. Если функция дифференцируема на отрезке [−π, π], то её ряд Фурье сходится к
значению функции в каждой точке этого отрезка.
