Теория рядов - 10 стр.

10                                          ТЕОРИЯ РЯДОВ

  Замечание 3. Условие теоремы 25 можно ослабить. Именно, скажем, что функция кусочно-
дифференцируема на отрезке, если она дифференцируема всюду, кроме конечного числа точек.
Такая функция не обязательно непрерывна, и в каждой точке можно рассмотреть правое и левое
значения
                        f (x + 0) = lim f (t), f (x − 0) = lim f (t).
                                        t→0+                               t→0−
Ряд Фурье кусочно-дифференцируемой функции сходится к величине
                                          f (x + 0) + f (x − 0)
                                                                .
                                                    2

Частные случаи. Существуют два случая, когда разложение функции в ряд Фурье упрощает-
ся.
     Предложение 5. Если функция чётна, то её ряд Фурье имеет вид
                                                  ∞
                                                  X
                                           a0 +         an cos nx,
                                                  n=1

т.е. содержит только косинусы, а если она нечётна, то её ряд Фурье имеет вид
                                               ∞
                                               X
                                                     bn sin nx,
                                               n=1
т.е. состоит из одних синусов.
  Замечание 4. Если функция определена на отрезке [0, π], то её можно продолжить до функции
на отрезке [−π, π], либо полагая
                                       f (−x) = f (x),            x > 0,
и тогда получится чётная функция, либо можно положить
                                      f (−x) = −f (x),            x > 0,
и получится нечётная функция. Значит, в силу теоремы 5, одну и ту же функцию, определённую
на [0, π], можно разложить в ряд Фурье как по косинусам, так и по синусам.


Примеры.
     Пример 15. Рассмотрим функцию
                                                     π−x
                                               f (x) =
                                                        2
и разложим её     в ряд Фурье на отрезке [0, 2π]. Имеем
                     Z 2π
                   1      π−x
           a0 =                dx = 0,
                  2π 0     2
                                                       sin nx 2π
                     Z 2π                                              Z 2π
                   1      π−x               1                       1
           an =                cos nx dx =     (π − x)           +          sin nx dx = 0,
                  2π 0     2               2π             n 0      2πn 0
                                                         cos nx 2π
                     Z 2π                                                Z 2π
                   1      π−x                  1                      1                    1
           bn =                sin nx dx = −     (π − x)           −          cos nx dx = .
                  2π 0     2                  2π            n 0      2πn 0                 n
Таким образом,
                                           ∞
                                  π − x X sin nx
                                       =         ,                0 < x < 2π.                  (22)
                                    2        n
                                           n=1