ВУЗ:
Рубрика:
ТЕОРИЯ РЯДОВ 11
Пример 16. Заменяя в предыдущем примере x на 2x и деля обе части полученного равенства
пополам, мы придём к разложению
π
4
−
x
2
=
∞
X
n=1
sin 2nx
2n
, 0 < x < π . (23)
Если теперь из равенства (22) вычесть равенство (23), мы получим
π
4
=
∞
X
n=1
sin(2n − 1)x
2n − 1
, 0 < x < π. (24)
В частности, при x =
π
2
получается уже известный ряд Лейбница
π
4
= 1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+ . . .
Пример 17. Рассмотрим функцию
f(x) =
x
2
4
−
πx
2
и разложим её по косинусам на отрезке [0, π]. Вычисляя коэффициенты Фурье по формулам
a
0
=
1
π
Z
π
0
x
2
4
−
πx
2
dx, a
n
=
2
π
Z
π
0
x
2
4
−
πx
2
cos nx dx,
получаем
x
2
4
−
πx
2
= −
π
2
6
+
∞
X
n=1
cos nx
n
2
.
В частности, при x = 0 получается знаменитый ряд Эйлера
π
2
6
=
∞
X
n=1
1
n
2
.
ТЕОРИЯ РЯДОВ 11
Пример 16. Заменяя в предыдущем примере x на 2x и деля обе части полученного равенства
пополам, мы придём к разложению
∞
π x X sin 2nx
− = , 0 < x < π. (23)
4 2 2n
n=1
Если теперь из равенства (22) вычесть равенство (23), мы получим
∞
π X sin(2n − 1)x
= , 0 < x < π. (24)
4 n=1
2n − 1
π
В частности, при x = получается уже известный ряд Лейбница
2
π 1 1 1
= 1 − + − + ...
4 3 5 7
Пример 17. Рассмотрим функцию
x2 πx
f (x) = −
4 2
и разложим её по косинусам на отрезке [0, π]. Вычисляя коэффициенты Фурье по формулам
1 π x2 πx 2 π x2 πx
Z Z
a0 = − dx, an = − cos nx dx,
π 0 4 2 π 0 4 2
получаем
∞
x2 πx π 2 X cos nx
− =− + 2
.
4 2 6 n=1
n
В частности, при x = 0 получается знаменитый ряд Эйлера
∞
π2 X 1
= .
6 n2
n=1
