Теория рядов - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

4 ТЕОРИЯ РЯДОВ
Теорема 9 (Коши). Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.
Как мы увидим ниже, бывают ряды, которые сходятся, но не сходятся абсолютно.
Ещё одним частным случаем рядов являются знакопеременные ряды.
Определение 3. Ряд
P
∞
n=1
a
n
называется знакопеременным, если a
n
a
n+1
< 0 для всех n > 1.
Теорема 10 (Лейбница). Если члены знакопеременного ряда монотонно убывают по абсолют-
ной величине и стремятся к нулю, то этот ряд сходится.
Пример 8. По теореме Лейбница ряд
P
∞
n=1
(−1)
n+1
n
сходится. Однако он не сходится абсолютно!
Свойства сходящихся рядов.
Теорема 11 (сочетательное свойство). Пусть
P
∞
n=1
a
n
— сходящийся ряд. Тогда любой ряд
вида
(a
1
+ ··· + a
n
1
) + (a
n
1
+1
+ ··· + a
n
2
) + ··· + (a
n
k
+1
+ ··· + a
n
k+1
) + . . .
также сходится и имеет ту же сумму.
Таким образом, сходящиеся бесконечные су ммы обладают тем же свойством ассоциативности,
что и конечные. В случае расходящихся рядов это не так.
Пример 9. Ряд
1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . .
расходится, однако ряд
(1 − 1) + (1 − 1) + (1 −1) + . . .
сходится, и его сумма равна нулю.
Обратимся теперь к свойству коммутативности бесконечных сумм.
Теорема 12 (Дирихле). Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный произвольной пе-
рестановкой его членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму.
Абсолютная сходимость су щественна в теореме Дирихле, и это показывает другая теорема.
Теорема 13 (Римана). Пусть ряд сходится неабсолютно. Тогда для любого значения −∞ 6
L 6 +∞ найдётся такая перестановка его членов, что сумма ряда будет равна L.
Последний результат связан с умножением рядов. Рассмотрим два ряда
(A)
∞
X
n=1
a
n
и (B)
∞
X
n=1
b
n
и построим ряд (C)
P
∞
n=1
c
n
, где
c
n
= a
1
b
n−1
+ a
2
b
n−2
+ ··· + a
n−1
b
1
.
Теорема 14 (Коши). Если ряды (A) и (B) сходятся абсолютно, то ряд (C) также сходится
абсолютно и его сумма равна произведению сумм этих рядов.
4                                                    ТЕОРИЯ РЯДОВ

    Теорема 9 (Коши). Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

    Как мы увидим ниже, бывают ряды, которые сходятся, но не сходятся абсолютно.
    Ещё одним частным случаем рядов являются знакопеременные ряды.

    Определение 3. Ряд ∞
                        P
                          n=1 an называется знакопеременным, если an an+1 < 0 для всех n > 1.

  Теорема 10 (Лейбница). Если члены знакопеременного ряда монотонно убывают по абсолют-
ной величине и стремятся к нулю, то этот ряд сходится.
                                                 P∞        (−1)n+1
    Пример 8. По теореме Лейбница ряд                n=1      n      сходится. Однако он не сходится абсолютно!


Свойства сходящихся рядов.
                                                                P∞
  Теорема 11 (сочетательное свойство). Пусть                     n=1 an    — сходящийся ряд. Тогда любой ряд
вида
               (a1 + · · · + an1 ) + (an1 +1 + · · · + an2 ) + · · · + (ank +1 + · · · + ank+1 ) + . . .
также сходится и имеет ту же сумму.
  Таким образом, сходящиеся бесконечные суммы обладают тем же свойством ассоциативности,
что и конечные. В случае расходящихся рядов это не так.

    Пример 9. Ряд
                                            1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + ...
расходится, однако ряд
                                          (1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + . . .
сходится, и его сумма равна нулю.

    Обратимся теперь к свойству коммутативности бесконечных сумм.

  Теорема 12 (Дирихле). Если ряд сходится абсолютно, то ряд, полученный произвольной пе-
рестановкой его членов, также сходится абсолютно и имеет ту же сумму.

    Абсолютная сходимость существенна в теореме Дирихле, и это показывает другая теорема.

  Теорема 13 (Римана). Пусть ряд сходится неабсолютно. Тогда для любого значения −∞ 6
L 6 +∞ найдётся такая перестановка его членов, что сумма ряда будет равна L.

    Последний результат связан с умножением рядов. Рассмотрим два ряда
                                               ∞
                                               X                           ∞
                                                                           X
                                      (A)            an     и        (B)         bn
                                               n=1                         n=1
                      P∞
и построим ряд (C)       n=1 cn ,   где

                                     cn = a1 bn−1 + a2 bn−2 + · · · + an−1 b1 .

  Теорема 14 (Коши). Если ряды (A) и (B) сходятся абсолютно, то ряд (C) также сходится
абсолютно и его сумма равна произведению сумм этих рядов.

Страницы