Физика. Часть 4. Атомная физика. Терлецкий И.А - 67 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ДВФУ | Владивосток

Составители: 

Рубрика: 

67
где m
0
– масса электрона. Переходя от неравенства к равенству, получим:
k
Em
d
0
2
2h
=
.
Подставив числовые значения, получим результат.
Ответ: d = 1,24⋅10
-10
м.
Пример 1.15
Используя соотношение неопределённости, оценить энергию основного
состояния атома водорода.
Дано:
n = 1.
Найти:
Е
1
= ?
Решение
Энергию электрона в атоме водорода определим как сумму кинетической и
потенциальной энергий:
2
0
22
0
22
4
242
v
r
q
m
p
r
qm
E
πε
−=
πε
−= , (1.15.1)
где
m
p
2
2
- кинетическая энергия электрона, выраженная через импульс р;
(
r
q
0
2
4πε
− ) - потенциальная энергия электростатического взаимодействия
электрона с ядром.
Для того чтобы воспользоваться классическим выражением для энергии
электрона (1.15.1) в квантовой теории, будем рассматривать величины p и r как
неопределенности соответственно импульса и координаты электрона. Тогда
соотношение неопределенностей будет выглядеть как:
h
=
pr
. (1.15.2)
Выразив координаты электрона r из формулы (1.15.2) и подставив в
(1.15.1), получим энергию электрона как функцию импульса:
h
0
22
42 πε
−=
pq
m
p
E . (1.15.3)
Данное выражение энергии (1.15.3) имеет минимальное значение при
некотором значении импульса p
1
, которое будет соответствовать основному
состоянию атома. Для определения минимального значения энергии
приравняем производную
dp
dE
нулю:
0
4
0
2
1
=
πε
−=
h
q
m
p
dp
dE
. 
где m0 – масса электрона. Переходя от неравенства к равенству, получим:
                                      2h
                               d=           .
                                     2m0 Ek
Подставив числовые значения, получим результат.
Ответ: d = 1,24⋅10-10 м.

    Пример 1.15
    Используя соотношение неопределённости, оценить энергию основного
состояния атома водорода.
    Дано: n = 1.
    Найти: Е1 = ?

    Решение
    Энергию электрона в атоме водорода определим как сумму кинетической и
потенциальной энергий:
                          mv 2    q2      p2   q2
                       E=      −        =    −       ,            (1.15.1)
                           2     4πε 0 r 2m 4πε0 r 2
     p2
где       - кинетическая энергия электрона, выраженная через импульс р;
     2m
      q2
 (−         ) - потенциальная энергия электростатического взаимодействия
    4πε 0 r
электрона с ядром.
     Для того чтобы воспользоваться классическим выражением для энергии
электрона (1.15.1) в квантовой теории, будем рассматривать величины p и r как
неопределенности соответственно импульса и координаты электрона. Тогда
соотношение неопределенностей будет выглядеть как:
                                   pr = h .                           (1.15.2)
     Выразив координаты электрона r из формулы (1.15.2)       и подставив в
(1.15.1), получим энергию электрона как функцию импульса:
                                 p2   q2 p
                              E=    −      .                          (1.15.3)
                                 2m 4πε0 h
    Данное выражение энергии (1.15.3) имеет минимальное значение при
некотором значении импульса p1, которое будет соответствовать основному
состоянию атома. Для определения минимального значения энергии
                       dE
приравняем производную    нулю:
                       dp
                           dE p1       q2
                               =   −       = 0.
                           dp m 4πε 0 h

                                     67

Страницы