Составители:
Рубрика:
125
Приближение однократного рассеяния (7.1.14) часто используется в задачах, где не
требуется высокая точность расчета рассеянного излучения, или сами эффекты рассеяния
малы.
Подставим теперь выражения для интенсивности (7.1.13) в определение функции
источников (7.1.11). Получим
)(exp),(
4
)(
)(exp),,,(),(
)(exp),,,(),(
4
)(
),,,(
0
0
0
1
0
1
00
0
2
0
0
0
η
τ
ωτ
τ
τ
η
ττ
ϕηητ
η
η
ωτ
τ
η
ττ
ϕηητ
η
η
ωτϕ
π
τ
ϕηητ
τ
τ
τπ
−
Λ
+
⎟
⎟
⎠
⎞
′
′
′
−
−
′′′
′
′
−
⎜
⎜
⎝
⎛
−
′
′
′
−
−
′′′
′
′
′
Λ
=
∫∫
∫∫∫
−
xSdB
d
x
dB
d
xdB
. (7.1.15)
В (7.1.15) входит только функция ),,,(
0
ϕ
η
η
τ
B , следовательно, мы получили уравнение
для функции источников, решение которого связано с искомой интенсивностью простыми
соотношениями (7.1.13). Несмотря на громоздкий вид, математически уравнение (7.1.15)
удобнее, чем уравнение для интенсивности (7.1.8), поскольку оно является интегральным
уравнением, а не интегро-дифференциальным. Поэтому в теории переноса обычно имеют
дело именно с (7.1.15) [33]
Полученное уравнение (7.1.15) – это интегральное уравнение Фредгольма
второго
рода. Математическая теория этих уравнений достаточно хорошо разработана, в
частности, для них доказано существование и единственность решения. Уравнения
Фредгольма для краткости удобно записывать в «операторном виде», поясним это на
примере функции одной переменной. Пусть имеем соотношение
∫
=
b
a
dxxfxxKxg ')'()',()(
,
перепишем его как
Kfg = , понимая под «произведением» Kf интегрирование
произведения функции )'(xf и функции )',( xxK . Само обозначение
K
называется
интегральным оператором, а собственно функция )',( xxK – ядром интегрального
оператора. В нашем случае переменных три, но формально это ничего не меняет. В
«операторной» форме уравнение (7.1.15) можно записать в виде
q
B
B
+
=
K
,
где B – искомая функция источников ),,,(
0
ϕ
η
η
τ
B , K – интегральный оператор рассеяния
с ядром
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
≤
′
≤−≤
′
≤
′
′
−
−
′
Λ
−
≤
′
≤≤
′
≤
′
′
−
−
′
Λ
=
′′′
01, области в
),(exp),(
4
)(
10,0 области в
),(exp),(
4
)(
),,,,,(
0
ητττ
η
ττ
ωτ
ηπ
τ
ηττ
η
ττ
ωτ
ηπ
τ
ϕητϕητ
x
x
K
q – свободный член:
)/(exp),(
4
)(
),,,(
000
ητωτ
τ
ϕηητ
−
Λ
= xSq .
Формальным решением уравнения Фредгольма второго рода является ряд Неймана
L++++= qqqqB
32
KKK . (7.1.16)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 123
- 124
- 125
- 126
- 127
- …
- следующая ›
- последняя »
