Основы теоретической атмосферной оптики. Тимофеев Ю.М - 127 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

127
∑
∞
=
=
0
)()(
i
ii
Pxx
ωω
, (7.2.3)
где
∫
−
+
=
1
1
)()(
2
12
ωωω
dPx
i
x
ii
. (7.2.4)
Заметим, что
∫
−
=
1
1
2
1
0
)(
ωω
dxx , но это есть условие нормировки (2.3.10) с учетом замены
угла на косинус. Следовательно, всегда 1
0
=
x . Важной характеристикой индикатрисы
является коэффициент разложения x
1
:
∫
−
=
1
1
1
)(
2
3
ωωω
dxx .
Поскольку
ω
есть косинус угла рассеяния, величина x
1
/3 есть средний косинус рассеяния
для данной индикатрисы. Он характеризует ее вытянутость вперед: чем больше средний
косинус, тем сильнее вытянута индикатриса. Для практических вычислений представляют
интерес конечные ряды, то есть обрыв (7.2.4) на некотором числе членов N.
В уравнении переноса индикатриса является функцией углов падающего и
рассеянного излучения (7.1.9). Для подобных зависимостей применима
теорема сложения
сферических функций, согласно которой
(
)
∑
=
′
−
′
+
−
+
+
′
=
′
−
′
−−+
′
i
m
m
i
m
i
iii
mPP
mi
mi
PPP
1
22
)(cos)()(
)!(
)!(
2
)()()(cos))(1()1(
ϕϕηη
ηηϕϕηηηη
, (7.2.5)
где
)(xP
m
i
– присоединенные функции Лежандра, определяемые соотношением
m
n
m
m
i
dx
xPd
xxP
m
)(
)1()(
2
−= . (7.2.6)
Заметим, что здесь и далее используются верхние индексы, то есть
m в левой части
выражения (7.2.6) – это индекс, а не показатель степени.
С учетом (7.2.5) выражение для индикатрисы рассеяния примет вид
)(cos)()(
)!(
)!(
2)()()(
011
ϕϕηηηηω
′
−
′
+
−
+
′
=
∑∑∑
===
mPP
mi
mi
xPPxx
m
i
N
i
N
i
i
m
m
iiiii
.
Сгруппируем в двойной сумме члены с одинаковым индексом m: с m = 1 будут члены при
всех i от 1 до N, с m = 2 − при всех i от 2 до N и т. д. То есть
∑∑∑
===
′
+
−
′
−+
′
=
N
m
m
i
N
mi
m
iii
N
i
ii
PP
mi
mi
xmPPxx
10
)()(
)!(
)!(
)(cos2)()()(
ηηϕϕηηω
или, в компактной записи
∑
=
′
−
′
+
′
=
N
m
m
mppx
1
0
)(cos),(2),()(
ϕϕηηηηω
, (7.2.7)
где

Страницы