Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Электродинамика"). Тимошенко Ю.К - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

12
Задачи
2.1. В однородное поле E
→
o
внесен шар с диэлектрической проницаемостью ε.
Радиус шара R. Определить потенциал и напряженность поля внутри и вне шара, а
также вектор поляризации, поверхностную плотность заряда и электрический
момент шара.
Решение
Найдем сначала потенциал. Согласно (2.1):
∇
2
ϕ = –
4
πρ
ε
сво
б .
ε
2
X
Y
E
→
0
r
α
θ
Z
В системе нет свободного заряда , т. е . ρ
своб
=
0.
Пусть ось Z ориентирована в направле
нии
поля и совпадает с полярной осью в сферической
системе координат.
В сферической системе координат урав
нение
Лапласа записывается в виде :
()
,0,,
1
2
2
2
=
Λ
+
αθϕ
∂
∂
∂
∂
r
r
r
r
r
r
где
+
=Λ
2
2
sin
1
sin
sin
1
∂α
∂
θ∂θ
∂
θ
∂θ
∂
θ
(оператор Лежандра);
α – азимутальный или аксиальный угол.
Собственные значения и собственные функции оператора Лежандра хорошо
известны :
Λ
^
Υ
lm
(θ, α) = – l(l + 1)Υ
lm
(θ, α) ,
где – l(l + 1) – собственное значение Λ
^
; Υ
lm
(θ, α) – шаровая функция (собственная
функция Λ
^
); l = 0, 1, 2, 3, ... ; m = – l, ... , 0 , ... , +l.
Так как уравнение Лапласа в сферической системе координат допускает
разделение переменных, то решение необходимо искать в мультипликативном
виде :
ϕ (r, θ, α) = f(r)Υ
lm
(θ, α).
Для удобства введем функцию R(r) = rf(r). Подставим её в уравнение
Лапласа
( ) ( )
ϕθαθαr
Rr
r
Y
lm
,,
()
,=
.
Получим:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                              12
                                                          Задачи
                                           →
         2.1. В о дно р о дно е по ле E o вне се н ш а р с ди эле ктр и ч е ско й пр о ни ца е мо стью ε.
         Ра ди ус ш а р а R. О пр е де ли ть по те нци а л и на пр яж е нно сть по ля внутр и и вне ш а р а , а
         та кж е ве кто р по ляр и за ци и , по ве р хно стную пло тно сть за р яда и эле ктр и ч е ски й
         мо ме нтш а р а .
                                                        Ре ш е ни е
                На йде м сна ч а ла по те нци а л. С о гла сно (2.1):
                                                     2         4πρсво б   .
                                                     ∇ϕ=–
                                                                   ε
                                                         В си сте ме не тсво б о дно го за р яда , т. е . ρсво б =
                         Z
               ε2                               0.
                                      →
                                                        П усть о сь Z о р и е нти р о ва на в на пр а вле ни и
                                     E0
                                                по ля и со впа да е т с по ляр но й о сью в сф е р и ч е ско й
                             r
                         θ                      си сте ме ко о р ди на т.
                                                        В сф е р и ч е ско й си сте ме ко о р ди на тур а вне ни е
                                                Л а пла са за пи сы ва е тся в ви де :
                        α             Y
                                                             1 ∂  2 ∂  Λ
         X                                                    r 2 ∂r  r ∂r  + r 2 ϕ (r ,θ ,α ) = 0,
                                                                                  
                   1      ∂          ∂       1 ∂2 
         где Λ =            sin θ        +              (о пе р а то р Л е ж а ндр а );
                 sin θ     ∂θ       ∂θ  sin θ ∂α 2 
         α – а зи мута льны й и ли а кси а льны й уго л.
                С о б стве нны е зна ч е ни я и со б стве нны е ф ункци и о пе р а то р а Л е ж а ндр а хо р о ш о
         и зве стны :
                                          ^ΛΥ (θ, α) = – l(l + 1)Υ (θ, α) ,
                                               lm                         lm

         где    – l(l + 1) – со б стве нно е зна ч е ни е ^Λ; Υlm(θ, α) – ш а р о ва я ф ункци я (со б стве нна я
         ф ункци я ^Λ); l = 0, 1, 2, 3, ... ; m = – l, ... , 0 , ... , +l.
                   Та к ка к ур а вне ни е Л а пла са в сф е р и ч е ско й си сте ме ко о р ди на т до пуска е т
         р а зде ле ни е пе р е ме нны х, то р е ш е ни е не о б хо ди мо и ска ть в мульти пли ка ти вно м
         ви де :
                                               ϕ (r, θ, α) = f(r)Υlm(θ, α).
                 Д ля удо б ства вве де м ф ункци ю R(r) = rf(r). П о дста ви м е ё в ур а вне ни е
         Л а пла са
                                                             R ( r)
                                            ϕ( r, θ, α ) =          Y lm (θ, α ) .
                                                               r
         П о луч и м:




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы