Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Электродинамика"). Тимошенко Ю.К - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

13
.0
)1(
,0),()1(
)(
),(
)(
, как Так
.0),(
)(
),(
)(
22
2
2
2
2
2
2
2
=
+
−
=+−
=
=Λ+
R
r
ll
dr
Rd
Yll
r
rR
Y
r
rR
r
r
R
r
r
R
r
r
r
Y
r
rR
Y
r
rR
r
r
r
lmlm
lmlm
αθαθ
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
αθαθ
∂
∂
∂
∂
Частным решением этого уравнения является степенная функция R(r) = r
k
.
Подставим эту функцию в уравнение и определим k.
d
dr
r
ll
r
r
kk
2
22
1
0−
+
=
()
;
k(k – 1)r
k– 2
– l(l + 1)r
k–2
= 0 ;
k
2
– k – l(l + 1) = 0,
откуда
kl
12
1
2
1
2
,
=±+
; k
1
= l + 1; k
2
= – l.
Общее решение этого (радиального ) уравнения есть линейная комбинация
частных решений :
R(r) = Ar
l+
1
+ Br
– l
; f(r) = Ar
l
+ Br
– (
l +
1)
.
Так как l∈ [0, ∞], то общее решение уравнения Лапласа имеет вид:
[
]
ϕθαθα(,,)(,).
()
rArBrY
l
l
l
l
lm
ml
l
l
=+
−+
=−=
∞
∑∑
1
0
В нашей задаче существует выделенное направление по оси z,
следовательно , имеем систему с азимутальной симметрией. В такой системе ϕ не
зависит от α. Угловая часть Υ
lm
(θ, α) не зависит от α, если m =0.
Υ
l
0
(θ, α) = c
l
P
l
(cos θ),
где
(
)
Px
l
d
dx
x
l
l
l
l
l
()
!
=−
1
2
1
2
– полином Лежандра;
( P
0
(x) = 1; P
1
(x) = x; P
2
(x) = 0.5(3x
2
– 1); и т. д. )
Следовательно , для системы с азимутальной симметрией потенциал
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                             13

                               ∂  2 ∂  R(r )                   R(r )
                                  r           Ylm (θ , α ) + Λ       Ylm (θ , α ) = 0.
                               ∂r  ∂ r  r                       r
                                              ∂  2 ∂ R          ∂ 2R
                                     Та к ка к  r         =r          ,
                                              ∂r  ∂r  r         ∂r 2
                                   ∂ 2 R(r )                R(r )
                                 r           Ylm (θ , α ) −       l (l + 1)Ylm (θ , α ) = 0,
                                     ∂r 2
                                                              r
                                                 d 2 R l (l + 1)
                                                        −           R = 0.
                                                 dr 2        r2
                  Ч а стны м р е ш е ни е м это го ур а вне ни я являе тся сте пе нна я ф ункци я R(r) = r k.
           П о дста ви м эту ф ункци ю в ур а вне ни е и о пр е де ли м k.

                                                                         l( l + 1)
                                                     2
                                                 d
                                                       r −                            r = 0;
                                                             k                         k
                                                     2                            2
                                                dr                           r
                                                                 k– 2                  k– 2
                                              k(k – 1)r                 – l(l + 1)r            =0;
                                                         2
                                                     k – k – l(l + 1) = 0,
           о ткуда
                                                1  1
                                       k1,2 =    ±  l +  ; k1 = l + 1; k2 = – l.
                                                2  2
                   О б щ е е р е ш е ни е это го (р а ди а льно го ) ур а вне ни я е сть ли не йна я ко мб и на ци я
           ч а стны х р е ш е ни й :
                                                     l+1                –l                 l     – (l + 1)
                                       R(r) = Ar             + Br ; f(r) = Ar + Br                       .
           Та к ка к l∈ [0, ∞], то о б щ е е р е ш е ни е ур а вне ни я Л а пла са и ме е тви д:


                                                           ∑ [ Al r l + B l r −( l+1) ]Y lm (θ, α).
                                                 ∞           l
                                 ϕ( r, θ, α) = ∑
                                                l=0 m =− l
                   В на ш е й за да ч е сущ е ствуе т вы де ле нно е на пр а вле ни е по о си z,
           сле до ва те льно , и ме е м си сте му с а зи мута льно й си мме тр и е й. В та ко й си сте ме ϕ не
           за ви си то тα. У гло ва я ч а сть Υlm(θ, α) не за ви си то тα, е сли m = 0.
           Υl0(θ, α) = clPl (cos θ),

                            1 dl  2
                                       (        )
                                            l
           где Pl ( x ) =         l 
                                      x − 1    – по ли но м Л е ж а ндр а ;
                              l
                          l !2 dx           
                                             

           ( P0(x) = 1; P1(x) = x; P2(x) = 0.5(3x2 – 1); и т. д. )
           С ле до ва те льно , для си сте мы с а зи мута льно й си мме тр и е й по те нци а л




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы