Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Электродинамика"). Тимошенко Ю.К - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

14
[
]
ϕθθ(,)(cos)
()
rArBrP
l
l
l
l
l
l
=+
−+
=
∞
∑
1
0
Здесь A
l
и В
l
подлежат определению из граничных условий. В нашем
случае должны выполняться следующие условия:
1) потенциал ϕ всюду непрерывен и конечен;
2) нормальные компоненты вектора D
→
непрерывны на границе раздела сред: D
2
n
=
D
1
n
.
3) тангенциальные компоненты вектора E
→
непрерывны на границе раздела сред:
Е
2
t
= Е
1
t
.
Величины , относящиеся к внутренней образующей сферы, обозначим
индексом “i”, а к внешней – индексом “е”. Очевидно , внутри сферы
( ) ( )
ϕθθ
il
l
l
l
rArP,cos=
=
∞
∑
0
B
l
= 0, так как при r = 0
ϕ
i
(0, θ) должен иметь конечное значение .
Вне сферы
[
]
ϕθθ
el
l
l
l
l
l
rMrNrP(,)(cos)
()
=+
−+
=
∞
∑
1
0
На больших расстояниях от сферы поле ориентировано по оси z и имеет
модуль E
0
.
Из
k
z
E
r
r
∂
∂ϕ
ϕ −=−= grad
0
(k
→
– единичный вектор, направленный по оси
z) получаем, что на больших расстояниях (r → ∞)
ϕ = – E
0
z = – E
0
r cosθ.
Так как cosθ = P
1
(cos θ), то ϕ(r, θ)
r
→∞
→ – E
0
r
1
P
1
(cos θ).
Отсюда следует, что единственным отличным от нуля коэффициентом М
l
является М
1
= – Е
0
. Следовательно ,
ϕθθθ
ee
e
e
e
rErNrP(,)cos(cos)
()
=−+
−+
=
∞
∑
0
1
0
Остальные коэффициенты найдем из граничных условий при r = a .
Y
Z
E
→
0
S
Используем непрерывность D
2
n
= D
1
n
и Е
2
t
= Е
1
t
в
точке r = a, θ = 0 (т. е . на оси z). Обозначим точку (r
= a, θ = 0) точкой S, тогда граничное условие в
отсутствии свободных зарядов для нормальной
компоненты вектора электрической индукции D
→
запишется в виде
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                      14


                                                      [                                        ]P (cos θ)
                                                ∞
                                    ϕ( r, θ) = ∑ Al r + B l r
                                                              l                    − ( l +1)
                                                                                                    l
                                               l =0
                 Зде сь Al и Вl по дле ж а т о пр е де ле ни ю и з гр а ни ч ны х усло ви й. В на ш е м
         случ а е до лж ны вы по лняться сле дующ и е усло ви я:
         1) по те нци а л ϕ всю ду не пр е р ы ве н и ко не ч е н;
                                                          →
         2) но р ма льны е ко мпо не нты ве кто р а D не пр е р ы вны на гр а ни це р а зде ла ср е д: D 2n =
         D1n .
                                                                       →
         3) та нге нци а льны е ко мпо не нты ве кто р а E не пр е р ы вны на гр а ни це р а зде ла ср е д:
         Е2t = Е1t .
                Ве ли ч и ны , о тно сящ и е ся к внутр е нне й о б р а зующ е й сф е р ы , о б о зна ч и м
         и нде ксо м “i”, а к вне ш не й – и нде ксо м “е”. О ч е ви дно , внутр и сф е р ы
                                                              ∞
                                           ϕ i ( r, θ) = ∑ Al r Pl (cos θ)
                                                                               l

                                                          l =0

         Bl = 0, та к ка к пр и r = 0 ϕi(0, θ) до лж е н и ме ть ко не ч но е зна ч е ни е .
                Вне сф е р ы

                                                      [                                            ]P (cos θ)
                                                ∞
                                  ϕ e (r, θ) = ∑ M l r + N l r
                                                                  l                    − ( l +1)
                                                                                                        l
                                               l =0
             На б о льш и х р а ссто яни ях о т сф е р ы по ле о р и е нти р о ва но по о си z и и ме е т
         мо дуль E0.
                    r                ∂ϕ r →
                И з E 0 = −gradϕ = −    k (k – е ди ни ч ны й ве кто р , на пр а вле нны й по о си
                                     ∂z
         z) по луч а е м, ч то на б о льш и х р а ссто яни ях (r → ∞)
                                              ϕ = – E0z = – E0r cosθ.
                                                                                   1
         Та к ка к cosθ = P1(cos θ), то ϕ(r, θ)r→∞ → – E0r P1(cos θ).
         О тсю да сле дуе т, ч то е ди нстве нны м о тли ч ны м о т нуля ко эф ф и ци е нто м Мl
         являе тся М1 = – Е0. С ле до ва те льно ,
                                                                           ∞
                               ϕ e (r, θ) = −E 0r cos θ + ∑ N e r
                                                                                            − ( e+1)
                                                                                                        Pe (cos θ)
                                                                           e=0
         О ста льны е ко эф ф и ци е нты на йде м и з гр а ни ч ны х усло ви й пр и r = a .
                                         И спо льзуе м не пр е р ы вно сть D 2n= D1n и Е2t = Е1t в
                →          Z
                E0                       то ч ке r = a, θ = 0 (т. е . на о си z). О б о зна ч и м то ч ку (r
                          S
                                         = a, θ = 0) то ч ко й S, то гда гр а ни ч но е усло ви е в
                                         о тсутстви и сво б о дны х за р ядо в для но р ма льно й
                                                                                                                     →
               Y
                                         ко мпо не нты ве кто р а эле ктр и ч е ско й и ндукци и D
                                         за пи ш е тся в ви де



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы