Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Электродинамика"). Тимошенко Ю.К - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

15
−=−ε
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
i
S
e
S
rr
Для получения тангенциальных компонент учтем, что , если нормаль
совпадает с осью z, то тангенциальная компонента лежит в плоскости ХУ,
проходящей через точку z = a. Для определенности возьмем ось Y. Тогда
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
∂
∂
∂ϕ
∂θ
∂θ
∂yr
r
yy
S
S
=+
,
z = r cos θ, y = r sin θ, rzy=+
22
, tg
y
z
θ= ,
∂
∂
θ
r
y
y
zy
y
r
=
+
==
2
2
22
sin ;
∂θ
∂
∂
∂
θ
θ
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
θ
∂ϕ
∂θ
θ∂ϕ
∂θ
yy
y
z
z
zy
z
r
r
r
r
yrra
S
S
S
==
+
===
=+
=
arctg
2222
1
coscos
;
sin
cos
.
Тогда граничное условие для тангенциальной компоненты вектора
напряженности E
→
примет вид :
−=−
11
aa
i
S
e
S
∂ϕ
∂θ
∂ϕ
∂θ
После подстановки ϕ
i
(r, θ) получим:
−=
=
∞
∑
1
0
a
AaP
l
l
l
S
l
∂
∂θ
θ(cos)
( )
=−−++
−−+
=
∞
∑
1
01
21
0
a
EaNaNa
P
S
l
l
l
S
l
∂θ
∂θ
∂θ
∂θ
cos
(cos)
;
()
Приравниваем коэффициенты при одинаковых произведениях:
AE
N
a
A
N
a
l
l
l
l
10
1
3
21
1
=+
=≠
+
;
,.
Из D
2
n
= D
1
n
имеем:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                     15

                                                                ∂ϕ i             ∂ϕ e
                                                           −ε              =−
                                                                 ∂r    S          ∂r    S
                   Д ля по луч е ни я та нге нци а льны х ко мпо не нт уч те м, ч то , е сли но р ма ль
           со впа да е т с о сью z, то та нге нци а льна я ко мпо не нта ле ж и т в пло ско сти ХУ,
           пр о хо дящ е й ч е р е з то ч ку z = a. Д ля о пр е де ле нно сти во зьме м о сь Y. То гда

                                              ∂ϕ    ∂ϕ ∂r ∂ϕ ∂θ 
                                                  =      +       ,
                                              ∂y S  ∂r ∂y ∂θ ∂y  S
                                                                                               y
                                    z = r cos θ, y = r sin θ, r =           z + y , tgθ =
                                                                             2          2
                                                                                                 ,
                                                                                               z
                                    ∂r    2y        y
                                       =          = = sin θ ;
                                    ∂y 2 z 2 + y 2 r
                             ∂θ ∂      y     z      z r cos θ cos θ
                               = arctg = 2        =   =       =     ;
                             ∂y ∂y     z z + y2 r 2       r2    r
                                      ∂ϕ     ∂ϕ      ∂ϕ cos θ    1 ∂ϕ
                                          =  sin θ +            =      .
                                      ∂y S  ∂r       ∂θ r  S a ∂θ S
               То гда    гр а ни ч но е    усло ви е       для         та нге нци а льно й   ко мпо не нты   ве кто р а
                               →
           на пр яж е нно сти E пр и ме тви д :

                                                     1 ∂ϕ i                1 ∂ϕ e
                                                 −                   =−
                                                     a ∂θ        S         a ∂θ     S

           П о сле по дста но вки ϕi(r, θ) по луч и м:
                                               1 ∞     l ∂
                                              − ∑ Al a      Pl (cos θ) S =
                                               a l =0    ∂θ
                                                         ∞
                           1                                   − ( l +1) ∂Pl (cos θ) 
                           a
                                (
                        = −  − E0 a + N 1a
                                            −2 ∂ cos θ
                                                       )
                                                       + ∑ N la
                                                  ∂θ S l=0                    ∂θ
                                                                                      ;
                                                                                     S

                  П р и р а вни ва е м ко эф ф и ци е нты пр и о ди на ко вы х пр о и зве де ни ях:
                                                               N1
                                                      A
                                                    1 = E 0 +   3
                                                                    ;
                                                                a
                                                    
                                                    A = N l , l ≠ 1.
                                                     l a2l +1
           И з D2n = D 1n и ме е м:



PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы