Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Электродинамика"). Тимошенко Ю.К - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

7
Решение :
dl
R
r
Z
P
α
Разделим кольцо на элементарные участки dl,
несущие заряд
dq
q
R
dl=
2
π
.
Считая элементарный заряд dq точечным, определим
потенциал
d
q
R
dl
r
q
R
dl
zR
ϕ
ππ
=⋅=⋅
+
22
22
.
Применяя принцип суперпозиции полей, находим суммарный потенциал на
оси кольца:
ϕ
ππ
π()z
q
R
zR
dl
q
R
zR
R
q
zR
l
=⋅
+
⋅=⋅
+
⋅=
+
∫
2
1
2
1
2
222222
.
В силу симметрии задачи вектор напряженности на оси кольца направлен вдоль
оси Z. Его модуль равен
Ez
z
z
qz
zR
()
()
()
=−=
+
∂ϕ
∂
2232
.
1.6 Найти потенциал и напряженность на оси равномерно заряженного диска
радиуса R. Полный заряд диска q.
Указание : использовать принцип суперпозиции и результаты
задачи 1.5
Ответ:
ϕ()()z
q
R
zRz=+−
2
2
22
, Ez
q
R
z
z
z
z
R
()()=−
+
2
2
22
.
1.7 Шар радиуса R заряжен с объемной плотностью ργ
β
()re
r
=
−
(γ, β –
константы ). Найти напряженность и потенциал поля во всем пространстве .
Использовать : а ) электростатическую теорему Гаусса ; б ) уравнения Пуассона и
Лапласа .
Решение :
а ) Будем решать задачу в сферической системе координат. Из симметрии задачи
следует, что )( rE
и
)
(
r
ϕ
не зависят от углов, т. е .
ErEr(,,)()
θ
α
=
и
ϕ
θ
α
ϕ
(,,)()rr
=
.
Вектор
)( rE
направлен по r
→
(начало координат в центре шара).
Действительно , поле всего шара в произвольной точке А по принципу
суперпозиции можно представить суммой полей точечных зарядов, симметрично
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                               7
                                                          Ре ш е ни е :
                         Z                          Ра зде ли м ко льцо на эле ме нта р ны е уч а стки dl,
                             P                не сущ и е за р яд
                                                       q
                                               dq =       dl .
                    r α                               2πR
                                              С ч и та я эле ме нта р ны й за р яд dq то ч е ч ны м, о пр е де ли м
                                              по те нци а л
                     R                                 q dl  q     dl
            dl                                 dϕ =      ⋅ =   ⋅          .
                                                      2πR r 2πR z 2 + R 2
                  П р и ме няя пр и нци п супе р по зи ци и по ле й, на хо ди м сумма р ны й по те нци а л на
           о си ко льца :
                               q     1               q     1                 q
                    ϕ( z) =      ⋅         ⋅ ∫ dl =    ⋅          ⋅ 2πR =        .
                              2πR z 2 + R 2 l       2πR z 2 + R 2         z +R
                                                                           2   2

           В си лу си мме тр и и за да ч и ве кто р на пр яж е нно сти на о си ко льца на пр а вле н вдо ль
           о си Z. Его мо дуль р а ве н
                                                        ∂ϕ( z)       qz
                                           E ( z) = −          = 2            .
                                                         ∂z     ( z + R2 )3 2
           1.6 На йти по те нци а л и на пр яж е нно сть на о си р а вно ме р но за р яж е нно го ди ска
           р а ди уса R. П о лны й за р яд ди ска q.
           У ка за ни е :     и спо льзо ва ть     пр и нци п супе р по зи ци и     и       р е зульта ты
           за да ч и 1.5
                                      2q                       2q z          z
                 О тве т: ϕ( z ) =             +     − z ) , E ( z) =  −
                                             2     2
                                       2
                                         ( z     R               2
                                                                   (               ).
                                                                          z +R
                                                                     z     2     2
                               R                               R
                                                                                      −βr
           1.7 Ш а р р а ди уса R за р яж е н с о б ъ е мно й пло тно стью ρ( r) = γe     (γ, β –
           ко нста нты ). На йти на пр яж е нно сть и по те нци а л по ля во все м пр о стр а нстве .
           И спо льзо ва ть: а ) эле ктр о ста ти ч е скую те о р е му Га усса ; б ) ур а вне ни я П уа ссо на и
           Л а пла са .
                                                          Ре ш е ни е :
           а ) Буде м р е ш а ть за да ч у в сф е р и ч е ско й си сте ме ко о р ди на т. И з си мме тр и и за да ч и
                             r r              r
           сле дуе т, ч то   E (r )    и   ϕ (r )   не за ви сят о т угло в, т. е . E ( r, θ, α) = E ( r) и
           ϕ( r, θ, α) = ϕ( r) .
                                 r r                          →
                  Ве кто р E (r ) на пр а вле н по r (на ч а ло ко о р ди на т в це нтр е ш а р а ).
           Д е йстви те льно , по ле все го ш а р а в пр о и зво льно й то ч ке А по пр и нци пу
           супе р по зи ци и мо ж но пр е дста ви ть суммо й по ле й то ч е ч ны х за р ядо в, си мме тр и ч но




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы