Методические указания к решению задач по курсу физики (раздел "Электродинамика"). Тимошенко Ю.К - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

8
расположенных относительно ОА. Очевидно , что результирующий вектор
E
r
будет направлен вдоль ОА, т.е . по r
→
.
Выберем вспомогательную замкнутую
поверхность в форме , удобной для решения нашей
задачи, т. е . в виде сферы радиуса r.
Поток вектора напряженности
E
r
через
выбранную поверхность связан с зарядом,
ограниченным этой поверхностью , теоремой Гаусса .
Так как
E
r
и ϕ в силу симметрии зада -
чи принимают на сфере постоянные значения, то
E
r
можно вынести из-под знака
интеграла :
Errqr()()⋅=44
2
ππ.
Найдем заряд внутри выбранной сферы радиуса r:
qrrrdrddredr
rr
r
()()sin==
∫∫∫∫
−
ρθθαπγ
ππ
β22
00
2
00
4 .
Вычисляя определенный интеграл методом интегрирования по частям, получим:
qre
rr
r
()=−++
+
−
4
228
2
233
πγ
β
ββ
πγ
β
β
.
Для области вне шара, т. е . для r > R:
ErrqR
e
()(),⋅=44
2
ππ
Er
qR
r
e
r
RR
r
e
R
()
()
.==−++
+
−
22
2
2332
4
228
πγ
β
ββ
πγ
β
β
Для области внутри шара, т. е . для r < R:
Errqr
Er
qr
r
e
r
rr
r
i
i
r
()(),
()
()
⋅=
==−++
+
−
44
4
228
2
22
2
2332
ππ
πγ
β
ββ
πγ
β
β
.
Из (1.7) следует, что определение потенциала сводится к интегрированию.
Постоянные интегрирования C
e
и C
i
определяем из условия непрерывности
потенциала
ϕ
ϕ
i
e
RR()()
и принимая
ϕ
e
()
∞
0
. В итоге получим:
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                                                                               8
                                                                                                                        r
         р а спо ло ж е нны х о тно си те льно О А . О ч е ви дно , ч то р е зульти р ующ и й ве кто р                  E
                                                               →
         б уде тна пр а вле н вдо ль О А , т.е . по r .
                                                    Вы б е р е м       вспо мо га те льную     за мкнутую
                                           по ве р хно сть в ф о р ме , удо б но й для р е ш е ни я на ш е й
                                           за да ч и , т. е . в ви де сф е р ы р а ди уса r.
                                                                                                               r
                                                                П о то к ве кто р а на пр яж е нно сти E ч е р е з
                                                       вы б р а нную       по ве р хно сть    связа н      с за р ядо м,
                                                       о гр а ни ч е нны м это й по ве р хно стью , те о р е мо й Га усса .
                                                    r
                                                    E и ϕ в си лу си мме тр и и за да -
                                                       Та к ка к
                                                                     r
         ч и пр и ни ма ютна сф е р е по сто янны е зна ч е ни я, то E мо ж но вы не сти и з-по д зна ка
         и нте гр а ла :
                                                          E ( r) ⋅ 4 πr = 4 πq(r) .
                                                                            2


         На йде м за р яд внутр и вы б р а нно й сф е р ы р а ди уса r:
                                          r                   π                    2π       r
                                                                                                2 −βr
                             q( r) = ∫ ρ( r) r dr ∫ sin θdθ ∫ dα = 4 πγ ∫ r e
                                                          2
                                                                                                        dr .
                                        0                     0                    0        0
         Вы ч и сляя о пр е де ле нны й и нте гр а л ме то до м и нте гр и р о ва ни я по ч а стям, по луч и м:
                                                               −βr  r   2r 2  8πγ
                                                                           2
                                    q( r) = −4 πγe                   + 2 + 3+ 3 .
                                                                     β β β  β
         Д ля о б ла сти вне ш а р а , т. е . для r > R:

                                                         E e (r) ⋅ 4 πr = 4 πq(R ),
                                                                            2

                                                                       − βR         R 2 2R 2  8πγ
                                        q(R )                      e
                           E e ( r) =                   = −4 πγ                     + 2 + 3+ 3 2.
                                              r2                       r2           β β   β  β r
         Д ля о б ла сти внутр и ш а р а , т. е . для r < R:

                             E i (r) ⋅ 4 πr = 4 πq(r),
                                                   2

                                                                       − βr         r 2 2r 2  8πγ .
                                              q( r)                e
                             E i ( r) =                 = −4 πγ                     + 2 + 3+ 3 2
                                                                                    β β β  β r
                                                   2                       2
                                               r                       r
                 И з (1.7) сле дуе т, ч то о пр е де ле ни е по те нци а ла сво ди тся к и нте гр и р о ва ни ю.
         П о сто янны е и нте гр и р о ва ни я Ce и Ci о пр е де ляе м и з усло ви я не пр е р ы вно сти
         по те нци а ла ϕ i ( R ) = ϕ e ( R ) и пр и ни ма я ϕ e ( ∞ ) = 0 . В и то ге по луч и м:




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы